Sejam B_{1}=\{(-1,0) ;(1,1)\}, B_{2}=\{(-1,-1) ;(0,-1)\} e v=(-2,5), determine:
a) [I]_{B_{2}}^{B_{1}} b) [I]_{B_{1}}^{B_{2}} c) (v)_{B_{1}} d) (v)_{B_{2}} c) (u)_{B_{1}}, sendo (u)_{B_{2}}=(-2,-3)
Passo 1
O enunciado dá os vetores de duas bases de \mathbb{R}^2: \;B_{1}=\{b_{1}^{(1)}=(-1,0),\,b_{1}^{(2)}=(1,1)\} \;B_{2}=\{b_{2}^{(1)}=(-1,-1),\,b_{2}^{(2)}=(0,-1)\}
e o vetor v=(-2,5).
Queremos:
a) a matriz de mudança de base de B_{2} para B_{1}, isto é [I]_{B_{2}}^{B_{1}};
b) a inversa [I]_{B_{1}}^{B_{2}};
c) as coordenadas de v em B_{1};
d) as coordenadas de v em B_{2};
e) dadas (u)_{B_{2}}=(-2,-3), encontrar (u)_{B_{1}}.
O conteúdo principal aqui é mudança de base em espaços vetoriais finsitos: expressar vetores de uma base na outra e usar inversão de matriz.
Passo 2
Para achar [I]_{B_{2}}^{B_{1}}\), representamos cada vetor de \(B_{2}\) como combinação linear da base \(B_{1}\).
1. Seja \(b_{2}^{(1)}=(-1,-1)=a\,(-1,0)+b\,(1,1)\). Isso dá o sistema
\[\begin{cases} -a + b = -1,\\\ \quad\;b = -1. \end{cases}
Da segunda equação b=-1\]. Na primeira, \[-a-1=-1\implies a=0. Logo as coordenadas em B_{1} são (0,-1).
Seja b_{2}^{(2)}=(0,-1)=a\,(-1,0)+b\,(1,1). O sistema é
\begin{cases} -a + b = 0,\\\ \;b = -1. \end{cases}
De b=-1\] vem \(-a-1=0\implies a=-1. Coordenadas em B_{1}: (-1,-1).