Sejam B_{1}=\{(-1,0) ;(1,1)\}, B_{2}=\{(-1,-1) ;(0,-1)\} e v=(-2,5), determine:
a) [I]_{B_{2}}^{B_{1}} b) [I]_{B_{1}}^{B_{2}} c) (v)_{B_{1}} d) (v)_{B_{2}} c) (u)_{B_{1}}, sendo (u)_{B_{2}}=(-2,-3)

Passo 1

O enunciado dá os vetores de duas bases de \mathbb{R}^2:
\;B_{1}=\{b_{1}^{(1)}=(-1,0),\,b_{1}^{(2)}=(1,1)\}
\;B_{2}=\{b_{2}^{(1)}=(-1,-1),\,b_{2}^{(2)}=(0,-1)\}
e o vetor v=(-2,5).
Queremos:
a) a matriz de mudança de base de B_{2} para B_{1}, isto é [I]_{B_{2}}^{B_{1}};
b) a inversa [I]_{B_{1}}^{B_{2}};
c) as coordenadas de v em B_{1};
d) as coordenadas de v em B_{2};
e) dadas (u)_{B_{2}}=(-2,-3), encontrar (u)_{B_{1}}.
O conteúdo principal aqui é mudança de base em espaços vetoriais finsitos: expressar vetores de uma base na outra e usar inversão de matriz.

Passo 2

Para achar [I]_{B_{2}}^{B_{1}}\), representamos cada vetor de \(B_{2}\) como combinação linear da base \(B_{1}\). 1. Seja \(b_{2}^{(1)}=(-1,-1)=a\,(-1,0)+b\,(1,1)\). Isso dá o sistema \[\begin{cases} -a + b = -1,\\\ \quad\;b = -1. \end{cases}
Da segunda equação b=-1\]. Na primeira, \[-a-1=-1\implies a=0. Logo as coordenadas em B_{1} são (0,-1).
  1. Seja b_{2}^{(2)}=(0,-1)=a\,(-1,0)+b\,(1,1). O sistema é
\begin{cases} -a + b = 0,\\\ \;b = -1. \end{cases}
De b=-1\] vem \(-a-1=0\implies a=-1. Coordenadas em B_{1}: (-1,-1).
Organizando em colunas,
[I]_{B_{2}}^{B_{1}} =\begin{pmatrix} 0 & -1\\\\ -1 & -1 \end{pmatrix}.

Passo 3

A matriz [I]_{B_{1}}^{B_{2}} é a inversa de [I]_{B_{2}}^{B_{1}}.
Calculemos \det\bigl([I]_{B_{2}}^{B_{1}}\bigr)=0\cdot(-1)-(-1)\cdot(-1)=-1.
Logo
[I]_{B_{1}}^{B_{2}} =\bigl([I]_{B_{2}}^{B_{1}}\bigr)^{-1} =\frac1{-1} \begin{pmatrix} -1 & 1\\\\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1\\\\ -1 & 0 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para (v)_{B_{1}}, escrevemos
v=(-2,5)=x\,(-1,0)+y\,(1,1)=(\\ -x+y,\;y).
Comparando com (-2,5) obtemos y=5 e -x+5=-2\implies x=7.
Assim
(v)_{B_{1}}=(7,5).

Passo 5

Para (v)_{B_{2}}, escrevemos
v=(\\ -2,5)=\alpha\,(-1,-1)+\beta\,(0,-1)=(-\alpha,\,-\alpha-\beta).
Da comparação -\alpha=-2\implies \alpha=2 e -2-\beta=5\implies \beta=-7.
Logo
(v)_{B_{2}}=(2,-7).

Passo 6

Dado (u)_{B_{2}}=(-2,-3), para achar (u)_{B_{1}} basta multiplicar
(u)_{B_{1}} =[I]_{B_{2}}^{B_{1}}\,(u)_{B_{2}} =\begin{pmatrix} 0 & -1\\\\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2\\\\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot(-2)+(-1)\cdot(-3)\\\ (-1)\cdot(-2)+(-1)\cdot(-3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\\\ 5 \end{pmatrix}.

Resposta

a) [I]_{B_{2}}^{B_{1}}=\begin{pmatrix}0 & -1\\\ -1 & -1\end{pmatrix}
b) [I]_{B_{1}}^{B_{2}}=\begin{pmatrix}1 & -1\\\ -1 & 0\end{pmatrix}
c) (v)_{B_{1}}=(7,5)
d) (v)_{B_{2}}=(2,-7)
e) (u)_{B_{1}}=(3,5)

Exercícios relacionados