Determine:
T sendo T(x, y, z, w)=(y, x+y, z-2 w, x+y-z-w);

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
O exercício nos dá uma transformação linear
T\colon \mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4,
definida por
T(x,y,z,w) = (\,y,\;x+y,\;z-2w,\;x+y-z-w\,).
O que queremos é a matriz de T na base canônica de \mathbb{R}^4. Para isso, basta calcular as imagens dos vetores da base canônica e montar as colunas.

Passo 2

Definição de base canônica e colunas da matriz
A base canônica de \mathbb{R}^4 é
e_1 = (1,0,0,0),\quad e_2 = (0,1,0,0),\quad e_3 = (0,0,1,0),\quad e_4 = (0,0,0,1).
Na representação matricial de uma transformação linear, a j-ésima coluna da matriz é T(e_j) escrita como vetor-coluna.

Passo 3

Cálculo de T(e_1) e T(e_2)
Aplicando T em e_1=(1,0,0,0):
T(1,0,0,0) = (\,0,\;1+0,\;0-2\cdot0,\;1+0-0-0\,) = (\,0,1,0,1).
Aplicando T em e_2=(0,1,0,0):
T(0,1,0,0) = (\,1,\;0+1,\;0-2\cdot0,\;0+1-0-0\,) = (\,1,1,0,1).

Passo 4

Cálculo de T(e_3) e T(e_4)
Aplicando T em e_3=(0,0,1,0):
T(0,0,1,0) = (\,0,\;0+0,\;1-2\cdot0,\;0+0-1-0\,) = (\,0,0,1,-1).
Aplicando T em e_4=(0,0,0,1):
T(0,0,0,1) = (\,0,\;0+0,\;0-2\cdot1,\;0+0-0-1\,) = (\,0,0,-2,-1).

Passo 5

Montagem da matriz de T
As colunas dessa matriz são os vetores T(e_1),T(e_2),T(e_3),T(e_4). Logo, a matriz de T na base canônica é
[T] = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\[6pt] 1 & 1 & 0 & 0 \\[6pt] 0 & 0 & 1 & -2 \\[6pt] 1 & 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}.]

Resposta

[T] = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\[6pt] 1 & 1 & 0 & 0 \\[6pt] 0 & 0 & 1 & -2 \\[6pt] 1 & 1 & -1 & -1 \end{pmatrix}.]

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