Considere o sistema linear:
\left\{\begin{array}{l} 10 x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=6 \\\\ -x_{1}+11 x_{2}-x_{3}=25 \\\\ 2 x_{1}-x_{2}+10 x_{3}=-11 \end{array}\right.
a) Verifique o critério de convergência.
b) Aplique do método de Gauss-Seidel com chute inicial \mathbf{x}_{\mathbf{0}}=(0,0,0) e tolerância 10^{-3}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos.
  • Sistema linear dado:
\left\{\begin{array}{l} 10 x_{1}-x_{2}+2 x_{3}=6 \\[4pt] -x_{1}+11 x_{2}-x_{3}=25 \\[4pt] 2 x_{1}-x_{2}+10 x_{3}=-11 \end{array}\right.
  • O enunciado faz duas solicitações:
    1. (a) Verificar o critério de convergência.
    2. (b) Aplicar o método de Gauss–Seidel com chute inicial \mathbf{x}_0=(0,0,0) e tolerância 10^{-3}.
Esses são todos os dados. No próximo passo explico o critério que vou verificar e faço a verificação.]

Passo 2

Explicação do critério de convergência que vou usar e verificação.
  • Uma condição simples e suficiente para garantir convergência do método de Gauss–Seidel para qualquer chute inicial é que a matriz dos coeficientes seja estritamente diagonal dominante por linhas. Isso significa, para cada linha i,
|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
Se isso ocorrer para todas as linhas, então o Gauss–Seidel converge.
  • Vamos pegar a matriz dos coeficientes A extraída do sistema:
A=\begin{pmatrix} 10 & -1 & 2\\[4pt] -1 & 11 & -1\\[4pt] 2 & -1 & 10 \end{pmatrix}.
Verificando linha a linha:
Linha 1: |a_{11}|=|10|=10 e \sum_{j\neq1}|a_{1j}|=|-1|+|2|=1+2=3. Portanto 10>3.
Linha 2: |a_{22}|=|11|=11 e \sum_{j\neq2}|a_{2j}|=|-1|+|-1|=1+1=2. Portanto 11>2.
Linha 3: |a_{33}|=|10|=10 e \sum_{j\neq3}|a_{3j}|=|2|+|-1|=2+1=3. Portanto 10>3.
  • Conclusão: A é estritamente diagonal dominante por linhas, logo o critério é satisfeito e o método de Gauss–Seidel converge para qualquer chute inicial (portanto para \mathbf{x}_0=(0,0,0) também). (Isto é uma condição suficiente, por isso garante convergência.)]

Passo 3

Explicação do método de Gauss–Seidel e formulas que vamos aplicar (aula rápida e prática).
  • Ideia do método: isolamos cada variável em cada equação e iterativamente atualizamos as componentes do vetor solução usando sempre os valores mais recentes disponíveis (isto é, ao calcular x_2^{(k)} usamos já o x_1^{(k)} calculado nesta mesma iteração).
  • Reescrever cada equação isolando x_i:
Da primeira equação:
10x_1 - x_2 +2x_3 = 6 \quad\Rightarrow\quad x_1 = \frac{6 + x_2 - 2x_3}{10}.
Da segunda:
- x_1 +11 x_2 - x_3 =25 \quad\Rightarrow\quad x_2 = \frac{25 + x_1 + x_3}{11}.
Da terceira:
2 x_1 - x_2 +10 x_3 = -11 \quad\Rightarrow\quad x_3 = \frac{-11 -2x_1 + x_2}{10}.
  • Critério de parada (o que vou usar): vou controlar a máxima variação entre iterações consecutivas (norma infinito da diferença). Ou seja, paro quando
\max_{i}|x_i^{(k)}-x_i^{(k-1)}| < 10^{-3}.
Começo com \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0) conforme pedido.
Agora vamos fazer as iterações, mostrando os cálculos passo a passo.

Passo 4

Iteração k=1 (partindo de \mathbf{x}^{(0)}=(0,0,0)) — calculos detalhados.
  • Calcular x_1^{(1)}:
x_1^{(1)}=\frac{6 + x_2^{(0)} - 2x_3^{(0)}}{10}=\frac{6 + 0 - 0}{10}=\frac{6}{10}=0{,}6.
  • Calcular x_2^{(1)} usando x_1^{(1)}:
x_2^{(1)}=\frac{25 + x_1^{(1)} + x_3^{(0)}}{11}=\frac{25 + 0{,}6 + 0}{11}=\frac{25{,}6}{11}\approx2{,}327272727.
  • Calcular x_3^{(1)} usando x_1^{(1)},x_2^{(1)}:
x_3^{(1)}=\frac{-11 -2x_1^{(1)} + x_2^{(1)}}{10}=\frac{-11 -2(0{,}6) + 2{,}327272727}{10}=\frac{-11 -1{,}2 +2{,}327272727}{10}
=\frac{-9{,}872727273}{10}\approx-0{,}9872727273.
  • Vetor obtido:
\mathbf{x}^{(1)}\approx(0{,}6,\;2{,}327272727,\;-0{,}9872727273).

Passo 5

Iteração k=2 — cálculos com os valores mais recentes.
  • Calcular x_1^{(2)}:
x_1^{(2)}=\frac{6 + x_2^{(1)} - 2x_3^{(1)}}{10} =\frac{6 + 2{,}327272727 -2(-0{,}9872727273)}{10}
=\frac{6 + 2{,}327272727 +1{,}9745454546}{10}=\frac{10{,}3018181816}{10}\approx1{,}03018181816.
  • Calcular x_2^{(2)}:
x_2^{(2)}=\frac{25 + x_1^{(2)} + x_3^{(1)}}{11} =\frac{25 + 1{,}03018181816 -0{,}9872727273}{11}
=\frac{25{,}04290909086}{11}\approx2{,}27662809917.
  • Calcular x_3^{(2)}:
x_3^{(2)}=\frac{-11 -2x_1^{(2)} + x_2^{(2)}}{10} =\frac{-11 -2(1{,}03018181816) + 2{,}27662809917}{10}
=\frac{-11 -2{,}06036363632 +2{,}27662809917}{10}=\frac{-10{,}78373553715}{10}\approx-1{,}078373553715.
  • Vetor obtido:
\mathbf{x}^{(2)}\approx(1{,}03018181816,\;2{,}27662809917,\;-1{,}07837355372).
  • Diferenças (para ver se já satisfaz tolerância):
|x_1^{(2)}-x_1^{(1)}|\approx0{,}43018181816,\quad |x_2^{(2)}-x_2^{(1)}|\approx0{,}05064437217,
|x_3^{(2)}-x_3^{(1)}|\approx0{,}09110082642.
Maior variação \approx0{,}43018>10^{-3}. Então continuar.

Passo 6

Iteração k=3.
  • Calcular x_1^{(3)}:
x_1^{(3)}=\frac{6 + x_2^{(2)} -2x_3^{(2)}}{10} =\frac{6 + 2{,}27662809917 -2(-1{,}07837355372)}{10}
=\frac{6 + 2{,}27662809917 +2{,}15674710744}{10}=\frac{10{,}43337520661}{10}\approx1{,}043337520661.
  • Calcular x_2^{(3)}:
x_2^{(3)}=\frac{25 + x_1^{(3)} + x_3^{(2)}}{11} =\frac{25 + 1{,}043337520661 -1{,}078373553715}{11}
=\frac{24{,}964964(} \text{aprox}\,)}{11}\approx2{,}26954217969.
(para manter clareza: o numerador dá 25+1{,}043337520661-1{,}078373553715\approx24{,}964964966946, dividindo por 11 resulta \approx2{,}26954217968.)
  • Calcular x_3^{(3)}:
x_3^{(3)}=\frac{-11 -2x_1^{(3)} + x_2^{(3)}}{10} =\frac{-11 -2(1{,}043337520661) + 2{,}26954217969}{10}
=\frac{-11 -2{,}086675041322 +2{,}26954217969}{10}=\frac{-10{,}817132862}{10}\approx-1{,}08171328620.
  • Vetor:
\mathbf{x}^{(3)}\approx(1{,}04333752066,\;2{,}26954217969,\;-1{,}08171328620).
  • Diferenças relativas à iteração anterior:
|x_1^{(3)}-x_1^{(2)}|\approx0{,}0131557025,\quad |x_2^{(3)}-x_2^{(2)}|\approx0{,}0070859195,
|x_3^{(3)}-x_3^{(2)}|\approx0{,}0033397325.
Maior variação \approx0{,}01316>10^{-3}. Ainda continua.

Passo 7

Iteração k=4 — último passo porque alcançamos a tolerância.
  • Calcular x_1^{(4)}:
x_1^{(4)}=\frac{6 + x_2^{(3)} -2x_3^{(3)}}{10} =\frac{6 + 2{,}26954217969 -2(-1{,}08171328620)}{10}
=\frac{6 + 2{,}26954217969 +2{,}16342657240}{10}=\frac{10{,}43296875209}{10}\approx1{,}043296875209.
  • Calcular x_2^{(4)}:
x_2^{(4)}=\frac{25 + x_1^{(4)} + x_3^{(3)}}{11} =\frac{25 + 1{,}043296875209 -1{,}08171328620}{11}
=\frac{24{,}961583589009}{11}\approx2{,}26923487173.
  • Calcular x_3^{(4)}:
x_3^{(4)}=\frac{-11 -2x_1^{(4)} + x_2^{(4)}}{10} =\frac{-11 -2(1{,}043296875209) + 2{,}26923487173}{10}
=\frac{-10{,}817358878688}{10}\approx-1{,}0817358878688.
  • Vetor:
\mathbf{x}^{(4)}\approx(1{,}043296875209,\;2{,}26923487173,\;-1{,}081735887869).
  • Diferenças (entre iteração 4 e 3):
|x_1^{(4)}-x_1^{(3)}|\approx4{,}07\times10^{-5},\quad |x_2^{(4)}-x_2^{(3)}|\approx3{,}07\times10^{-4},
|x_3^{(4)}-x_3^{(3)}|\approx2{,}26\times10^{-5}.
Máxima variação \approx3{,}07\times10^{-4}<10^{-3}. Portanto a condição de parada foi satisfeita. Paramos na iteração k=4.

Resposta

a) A matriz é estritamente diagonal dominante por linhas ( |10|>1+2,\;|11|>1+1,\;|10|>2+1), logo o método de Gauss–Seidel converge.
b) Solução aproximada obtida (parando quando \max_i|x_i^{(k)}-x_i^{(k-1)}|<10^{-3}) após 4 iterações:
\mathbf{x}\approx\bigl(1{,}043296875209,\;2{,}26923487173,\;-1{,}081735887869\bigr).

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