(b) Aplicar o método de Gauss–Seidel com chute inicial \mathbf{x}_0=(0,0,0) e tolerância 10^{-3}.
Esses são todos os dados. No próximo passo explico o critério que vou verificar e faço a verificação.]
Passo 2
Explicação do critério de convergência que vou usar e verificação.
Uma condição simples e suficiente para garantir convergência do método de Gauss–Seidel para qualquer chute inicial é que a matriz dos coeficientes seja estritamente diagonal dominante por linhas. Isso significa, para cada linha i,
|a_{ii}|>\sum_{j\neq i}|a_{ij}|.
Se isso ocorrer para todas as linhas, então o Gauss–Seidel converge.
Vamos pegar a matriz dos coeficientes A extraída do sistema:
Linha 1: |a_{11}|=|10|=10 e \sum_{j\neq1}|a_{1j}|=|-1|+|2|=1+2=3. Portanto 10>3.
Linha 2: |a_{22}|=|11|=11 e \sum_{j\neq2}|a_{2j}|=|-1|+|-1|=1+1=2. Portanto 11>2.
Linha 3: |a_{33}|=|10|=10 e \sum_{j\neq3}|a_{3j}|=|2|+|-1|=2+1=3. Portanto 10>3.
Conclusão: A é estritamente diagonal dominante por linhas, logo o critério é satisfeito e o método de Gauss–Seidel converge para qualquer chute inicial (portanto para \mathbf{x}_0=(0,0,0) também). (Isto é uma condição suficiente, por isso garante convergência.)]
Passo 3
Explicação do método de Gauss–Seidel e formulas que vamos aplicar (aula rápida e prática).
Ideia do método: isolamos cada variável em cada equação e iterativamente atualizamos as componentes do vetor solução usando sempre os valores mais recentes disponíveis (isto é, ao calcular x_2^{(k)} usamos já o x_1^{(k)} calculado nesta mesma iteração).
Máxima variação \approx3{,}07\times10^{-4}<10^{-3}. Portanto a condição de parada foi satisfeita. Paramos na iteração k=4.
Resposta
a) A matriz é estritamente diagonal dominante por linhas (|10|>1+2,\;|11|>1+1,\;|10|>2+1), logo o método de Gauss–Seidel converge.
b) Solução aproximada obtida (parando quando \max_i|x_i^{(k)}-x_i^{(k-1)}|<10^{-3}) após 4 iterações: