Considere o sistema linear:
\left\{\begin{array}{l} 0 x+2 y+3 z=8 \\\\ 2 x+3 y+4 z=20 \\\\ 4 x+5 y+6 z=26 \end{array}\right.
Resolva o sistema utilizando o método da fatoração LU.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\left\{\begin{array}{l} 0 x+2 y+3 z=8 \\\\ 2 x+3 y+4 z=20 \\\\ 4 x+5 y+6 z=26 \end{array}\right.
As informações relevantes são:
  • A matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix}0 & 2 & 3 \\[4pt] 2 & 3 & 4 \\[4pt] 4 & 5 & 6\end{pmatrix},
e o vetor lado direito é
b=\begin{pmatrix}8\\[4pt]20\\[4pt]26\end{pmatrix}.
O que se pede: resolver o sistema A x=b utilizando fatoração LU (ou seja, escrever A — possivelmente com permutação — como produto de matrizes triangulares e usar isso para resolver x).]

Passo 2

Ideia do método (explicação didática):
  • A fatoração LU consiste em escrever (quando possível) A como A=L U, onde L é triangular inferior com diagonal principal formada por 1s (forma de Doolittle) e U é triangular superior.
  • Depois de obter L e U, resolve-se L y=b por substituição progressiva (forward) e então U x=y por substituição regressiva (back substitution).
  • Atenção importante: se o elemento pivô a_{11} for 0 (como aqui), não se pode proceder sem trocar linhas — precisa-se de permutação. A forma geral com permutação é encontrar P, L, U tais que
P A = L U,
e então resolver L U x = P b.
No nosso caso a_{11}=0, portanto faremos uma troca de linhas para obter um pivô não nulo na primeira posição. Vou escolher trocar a linha 1 com a linha 3 (porque a_{31}=4 é maior), o que corresponde à matriz de permutação
P=\begin{pmatrix}0&0&1\\[4pt]0&1&0\\[4pt]1&0&0\end{pmatrix}.
Multiplicando P por A e por b obtemos:
P A=\begin{pmatrix}4&5&6\\[4pt]2&3&4\\[4pt]0&2&3\end{pmatrix},\qquad P b=\begin{pmatrix}26\\[4pt]20\\[4pt]8\end{pmatrix}.
Agora faremos Doolittle para fatorar P A = L U com L tendo 1s na diagonal.]

Passo 3

Construção de L e U (Doolittle) passo a passo:
  • Para i=1 (primeira linha de U) os elementos são simplesmente os da primeira linha de P A:
U_{11}=4,\quad U_{12}=5,\quad U_{13}=6.
  • Os multiplicadores da coluna 1 (entradas de L abaixo da diagonal) são
L_{21}=\frac{(P A)_{21}}{U_{11}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2},\qquad L_{31}=\frac{(P A)_{31}}{U_{11}}=\frac{0}{4}=0.
  • Para i=2 calculamos a segunda linha de U usando
U_{2j}=(P A)_{2j}-L_{21}U_{1j}.
Assim,
U_{22}=(P A)_{22}-L_{21}U_{12}=3-\tfrac{1}{2}\cdot5=3-\tfrac{5}{2}=\tfrac{1}{2},
U_{23}=(P A)_{23}-L_{21}U_{13}=4-\tfrac{1}{2}\cdot6=4-3=1.
  • O multiplicador L_{32} (entrada abaixo da diagonal na coluna 2) é
L_{32}=\frac{(P A)_{32}-L_{31}U_{12}}{U_{22}}=\frac{2-0\cdot5}{\tfrac{1}{2}}=\frac{2}{\tfrac{1}{2}}=4.
  • Finalmente, o elemento U_{33} é
U_{33}=(P A)_{33}-L_{31}U_{13}-L_{32}U_{23}=3-0\cdot6-4\cdot1=3-4=-1.
Portanto as matrizes L e U obtidas são
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] \tfrac{1}{2} & 1 & 0\\[4pt] 0 & 4 & 1 \end{pmatrix},\qquad U=\begin{pmatrix} 4 & 5 & 6\\[4pt] 0 & \tfrac{1}{2} & 1\\[4pt] 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Verificação rápida (controle): L U = P A — multiplica-se mentalmente/por partes e confere que as linhas resultantes são (4,5,6), (2,3,4), (0,2,3), iguais a P A.]

Passo 4

Resolução do sistema usando P A = L U. Começamos resolvendo L y = P b por substituição progressiva; lembrando que P b=(26,20,8)^T.
  • Primeiro
y_1=(P b)_1=26.
  • Segundo
y_2=(P b)_2 - L_{21}y_1 = 20 - \tfrac{1}{2}\cdot 26 = 20 - 13 = 7.
  • Terceiro
y_3=(P b)_3 - L_{31}y_1 - L_{32}y_2 = 8 - 0\cdot26 - 4\cdot7 = 8 - 28 = -20.
Logo
y=\begin{pmatrix}26\\[4pt]7\\[4pt]-20\end{pmatrix}.
Agora resolvemos U x = y por substituição regressiva:
  • Da terceira equação (última linha de U):
U_{33} x_3 = y_3 \quad\Rightarrow\quad -1\cdot x_3 = -20 \quad\Rightarrow\quad x_3=20.
  • Da segunda equação:
U_{22} x_2 + U_{23} x_3 = y_2 \quad\Rightarrow\quad \tfrac{1}{2} x_2 + 1\cdot 20 = 7.
Assim
\tfrac{1}{2} x_2 = 7-20 = -13 \quad\Rightarrow\quad x_2 = -26.
  • Da primeira equação:
4 x_1 + 5 x_2 + 6 x_3 = y_1 \quad\Rightarrow\quad 4 x_1 + 5(-26) + 6(20) = 26.
Calcule os termos: 5(-26)=-130 e 6(20)=120, logo
4 x_1 -130 +120 = 26 \quad\Rightarrow\quad 4 x_1 -10 = 26 \quad\Rightarrow\quad 4 x_1 = 36,
portanto
x_1=9.]

Resposta

x=9
y=-26
z=20

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