O que se pede: resolver o sistema A x=b utilizando fatoração LU (ou seja, escrever A — possivelmente com permutação — como produto de matrizes triangulares e usar isso para resolver x).]
Passo 2
Ideia do método (explicação didática):
A fatoração LU consiste em escrever (quando possível) A como A=L U, onde L é triangular inferior com diagonal principal formada por 1s (forma de Doolittle) e U é triangular superior.
Depois de obter L e U, resolve-se L y=b por substituição progressiva (forward) e então U x=y por substituição regressiva (back substitution).
Atenção importante: se o elemento pivô a_{11} for 0 (como aqui), não se pode proceder sem trocar linhas — precisa-se de permutação. A forma geral com permutação é encontrar P, L, U tais que
P A = L U,
e então resolver L U x = P b.
No nosso caso a_{11}=0, portanto faremos uma troca de linhas para obter um pivô não nulo na primeira posição. Vou escolher trocar a linha 1 com a linha 3 (porque a_{31}=4 é maior), o que corresponde à matriz de permutação
Verificação rápida (controle): L U = P A — multiplica-se mentalmente/por partes e confere que as linhas resultantes são (4,5,6), (2,3,4), (0,2,3), iguais a P A.]
Passo 4
Resolução do sistema usando P A = L U. Começamos resolvendo L y = P b por substituição progressiva; lembrando que P b=(26,20,8)^T.