Considere o sistema linear:
\left\{\begin{array}{l} x_{1}+2 x_{2}-x_{3}+0 x_{4}=1 \\\\ 2 x_{1}+4 x_{2}-2 x_{3}+1 x_{4}=0 \\\\ 0 x_{1}+1 x_{2}+3 x_{3}+2 x_{4}=10 \\\ x_{1}+0 x_{2}+1 x_{3}-1 x_{4}=2 \end{array}\right.
a) Escreva a matriz ampliada, a matriz dos coeficientes e a matriz do termo independente.
b) Resolva o sistema linear à forma escalonada reduzida por linha.
c) Classifique o sistema linear a partir da análise do posto e nulidade.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear de quatro equações e quatro incógnitas x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}. Precisamos:
– (a) Escrever a matriz ampliada [A\mid b], a matriz dos coeficientes A e a matriz de termos independentes b.
– (b) Encontrar a forma escalonada reduzida por linha (RREF) de [A\mid b] para obter a solução.
– (c) Classificar o sistema pelo posto \rank(A) e pela nulidade \nul(A).

Passo 2

As matrizes pedidas são:
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 0\\\\ 2 & 4 & -2 & 1\\\\ 0 & 1 & 3 & 2\\\\ 1 & 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} 1\\\ 0\\\ 10\\\ 2 \end{pmatrix}, \quad [A\mid b] = \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 & 1\\\\ 2 & 4 & -2 & 1 & 0\\\\ 0 & 1 & 3 & 2 & 10\\\\ 1 & 0 & 1 & -1 & 2 \end{array}\right).

Passo 3

Primeiro pivô em \;(1,1)😉 usamos R_{2}\leftarrow R_{2}-2R_{1} e R_{4}\leftarrow R_{4}-R_{1} para zerar abaixo:
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 0 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2\\\\ 0 & 1 & 3 & 2 & 10\\\\ 0 & -2 & 2 & -1 & 1 \end{array}\right).

Passo 4

Agora pivô em (2,2). Primeiro trocamos R_{2}\leftrightarrow R_{3} para levar 1 para (2,2), depois eliminamos com R_{1}\leftarrow R_{1}-2R_{2} e R_{4}\leftarrow R_{4}+2R_{2}, obtendo:
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & -7 & -4 & -19\\\\ 0 & 1 & 3 & 2 & 10\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2\\\\ 0 & 0 & 8 & 3 & 21 \end{array}\right).

Passo 5

Para pivôs em colunas 3 e 4, trocamos R_{3}\leftrightarrow R_{4}, normalizamos R_{3}\leftarrow \tfrac18R_{3}, e então anulamos acima em colunas 3 e 4 usando as linhas-pivô. Isso leva à forma escalonada reduzida:
\left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & -\tfrac{27}{8}\\\\ 0 & 1 & 0 & 0 & \tfrac{31}{8}\\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & \tfrac{27}{8}\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 \end{array}\right).

Passo 6

Da RREF lemos diretamente
x_{1}=-\tfrac{27}{8},\quad x_{2}=\tfrac{31}{8},\quad x_{3}=\tfrac{27}{8},\quad x_{4}=-2.

Passo 7

Há 4 pivôs não-nulos em A, logo \rank(A)=4. Como o número de incógnitas é 4, a nulidade \nul(A)=4-4=0. O sistema é determinado (única solução).

Resposta

a) \displaystyle A=\begin{pmatrix} 1&2&-1&0\\\\ 2&4&-2&1\\\\ 0&1&3&2\\\\ 1&0&1&-1 \end{pmatrix},\quad b=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 10\\\ 2\end{pmatrix},\quad [A\mid b]=\bigl(\begin{smallmatrix} 1&2&-1&0&\mid&1\\\\ 2&4&-2&1&\mid&0\\\\ 0&1&3&2&\mid&10\\\\ 1&0&1&-1&\mid&2 \end{smallmatrix}\bigr).
b) (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}) = \bigl(-\tfrac{27}{8},\,\tfrac{31}{8},\,\tfrac{27}{8},\,-2\bigr).
c) \rank(A)=4,\;\nul(A)=0. Sistema determinado (solução única).

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