e pede:
(a) \det(A),
(b) \det\bigl(A^{3}\,(A^{-1})^{T}\bigr),
(c) o número de soluções do sistema homogêneo A X = \overline{0}.
Para isso vamos usar operações elementares em linhas (e controle do efeito delas no determinante) e, depois, propriedades do determinante como \det(AB)=\det(A)\,\det(B) e \det(A^T)=\det(A).
Passo 2
Calcular \det(A) por eliminação com registro das mudanças:
Façamos as operações
R_3 \leftarrow 2R_3 - R_1 (isso multiplica o determinante por 2),
R_4 \leftarrow 2R_4 + R_1 (isso também multiplica o determinante por 2).
Assim definimos
Como \det(A)=3\neq0, a matriz A é invertível e o sistema homogêneo A X=\overline{0} só tem a solução trivial X=\overline{0}. Portanto há exatamente uma solução.
Resposta
(a) \;3
(b) \;9
(c) uma única solução X=\overline{0}