Questão 2 (30 pontos). Seja A=\left(\begin{array}{cccc}2 & 5 & 5 & 4 \\\\ 0 & 6 & 6 & 3 \\\\ 1 & 2 & 2 & 2 \\\\ -1 & -1 & -2 & 3\end{array}\right).
(a) Calcule \operatorname{det}(A).
(b) Calcule \operatorname{det}\left(A^{3} \cdot\left(A^{-1}\right)^{T}\right).
(c) Quantas soluções tem o sistema A \cdot X=\overline{0}, onde X=\left(\begin{array}{c}x \\\ y \\\ z \\\ w\end{array}\right) é uma matriz 4 \times 1 ?

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 5 & 4\\\\ 0 & 6 & 6 & 3\\\\ 1 & 2 & 2 & 2\\\\ -1 & -1 & -2 & 3 \end{pmatrix}
e pede:
(a) \det(A),
(b) \det\bigl(A^{3}\,(A^{-1})^{T}\bigr),
(c) o número de soluções do sistema homogêneo A X = \overline{0}.
Para isso vamos usar operações elementares em linhas (e controle do efeito delas no determinante) e, depois, propriedades do determinante como \det(AB)=\det(A)\,\det(B) e \det(A^T)=\det(A).

Passo 2

Calcular \det(A) por eliminação com registro das mudanças:
  1. Façamos as operações
  • R_3 \leftarrow 2R_3 - R_1 (isso multiplica o determinante por 2),
  • R_4 \leftarrow 2R_4 + R_1 (isso também multiplica o determinante por 2).
    Assim definimos
M = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 5 & 4\\\\ 0 & 6 & 6 & 3\\\\ 0 & -1 & -1 & 0\\\\ 0 & 3 & 1 & 10 \end{pmatrix}, \quad \det(M) = 4\,\det(A).
  1. Expandindo \det(M) pela primeira coluna só sobra o cofator da entrada M_{11}=2:
\det(M) = 2\cdot \det\begin{pmatrix} 6 & 6 & 3\\\\ -1 & -1 & 0\\\\ 3 & 1 & 10 \end{pmatrix}.
  1. Chame de B a matriz 3\times3 acima. Calculamos
\det(B) =6\det\!\begin{pmatrix}-1&0\\\ 1&10\end{pmatrix} -6\det\!\begin{pmatrix}-1&0\\\ 3&10\end{pmatrix} +3\det\!\begin{pmatrix}-1&-1\\\ 3&1\end{pmatrix} =6(-10)-6(-10)+3(2)=6.
Logo \det(M)=2\cdot6=12.
4. Como \det(M)=4\,\det(A), temos
\det(A)=\frac{\det(M)}{4}=\frac{12}{4}=3.

Passo 3

Usamos agora propriedades de determinantes para o produto:
\det\bigl(A^{3}(A^{-1})^{T}\bigr) =\det(A^{3})\;\det\bigl((A^{-1})^{T}\bigr) =\det(A)^{3}\;\det(A^{-1}) =\det(A)^{3}\;\frac1{\det(A)} =\det(A)^{2}.
Substituindo \det(A)=3 vem \det(A^{3}(A^{-1})^{T})=3^{2}=9.

Passo 4

Como \det(A)=3\neq0, a matriz A é invertível e o sistema homogêneo A X=\overline{0} só tem a solução trivial X=\overline{0}. Portanto há exatamente uma solução.

Resposta

(a) \;3
(b) \;9
(c) uma única solução X=\overline{0}

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