Questão 2 (7 pontos). Considere a matriz
A=\left[\begin{array}{llll} 2 & 5 & 0 & 0 \\\\ 1 & 3 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 3 & 8 \\\\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{array}\right] \cdot
a) ( 4 pontos) Calcule a inversa de A.
b) (3 pontos) Encontre a solução para o sistema A X=B, onde B^{t}=\left[\begin{array}{cccc}1 & -1 & 0 & 0\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 5 & 0 & 0\\\\ 1 & 3 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 & 8\\\\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}
e pede (a) a inversa de A e (b) a solução do sistema A X = B com
B = \begin{pmatrix}1 \\\\ -1 \\\\ 0 \\\\ 0\end{pmatrix}.
Repare que A é bloco-diagonal, com dois blocos 2\times2. Vamos usar a fórmula
\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}^{-1} =\frac1{ad - bc}\begin{pmatrix}d & -b\\\\ -c & a\end{pmatrix}.

Passo 2

Isolamos o bloco superior \displaystyle M_1 = \begin{pmatrix}2 & 5\\\ 1 & 3\end{pmatrix}.
Seu determinante é
\det(M_1)=2\cdot3 - 5\cdot1 = 6-5 = 1,
logo
M_1^{-1} = \begin{pmatrix}3 & -5\\\ -1 & 2\end{pmatrix}.
Analogamente, o bloco inferior é \displaystyle M_2 = \begin{pmatrix}3 & 8\\\ 1 & 3\end{pmatrix}
com
\det(M_2)=3\cdot3 - 8\cdot1 = 9-8 = 1,
portanto
M_2^{-1} = \begin{pmatrix}3 & -8\\\ -1 & 3\end{pmatrix}.

Passo 3

Montamos A^{-1} reunindo os inversos dos dois blocos em bloco-diagonal:
A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -5 & 0 & 0\\\\ -1 & 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 & -8\\\\ 0 & 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 4

Para resolver A X = B basta fazer
X = A^{-1}B.
Calculando componente a componente, temos
X = \begin{pmatrix} 3 & -5 & 0 & 0\\\\ -1 & 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 & -8\\\\ 0 & 0 & -1 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot1 + (-5)\cdot(-1)\\\\ -1\cdot1 + 2\cdot(-1)\\\\ 0\\\\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8\\\ -3\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.

Resposta

a)
A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & -5 & 0 & 0\\\\ -1 & 2 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 3 & -8\\\\ 0 & 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}.
b)
X = \begin{pmatrix}8\\\ -3\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}.

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