Questão 1 (35 pontos). Considere as matrizes A=\left(\begin{array}{ll}3 & 2 \\\\ 5 & 4\end{array}\right) e B=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 2 \\\\ 0 & 3 & 1 \\\\ 1 & 1 & 2\end{array}\right).
(a) Calcule as inversas A^{-1} e B^{-1}.
b) Determine a solução do sistema B \cdot X=\left(\begin{array}{l}0 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right), onde X=\left(\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right) é uma matriz 3 \times 1.
Dica: Use o item (a) para resolver o item (b).

Passo 1

O enunciado pede (a) as matrizes inversas de A e B e (b) a solução do sistema
B\,X = \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},
onde X=(x,y,z)^{T}.
O conteúdo central é inversão de matrizes: para A usamos a fórmula do inverso de uma 2\times2 e para B o método de adjunta (cofatores e transposição). Em seguida, aplicamos X = B^{-1}b.

Passo 2

Calcular A^{-1}. Para
A = \begin{pmatrix}3 & 2 \\\\ 5 & 4\end{pmatrix}
temos \det(A)=3\cdot4-2\cdot5=2. A fórmula dá
A^{-1} = \frac1{\det(A)}\begin{pmatrix}4 & -2 \\\\ -5 & 3\end{pmatrix} = \frac12\begin{pmatrix}4 & -2 \\\\ -5 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & -1 \\\\ -\tfrac52 & \tfrac32\end{pmatrix}.

Passo 3

Calcular B^{-1} por cofatores. Seja
B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\\\ 0 & 3 & 1\\\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
  1. Encontramos \det(B)=-1 por expansão na primeira linha.
  2. Construímos a matriz de cofatores e depois sua transposta (adjunta):
\operatorname{adj}(B) =\begin{pmatrix}5 & 2 & -6\\\\ 1 & 0 & -1\\\\ -3 & -1 & 3\end{pmatrix}.
  1. Assim
B^{-1} = \frac1{\det(B)}\,\operatorname{adj}(B) = -\,\operatorname{adj}(B) = \begin{pmatrix} -5 & -2 & 6\\\\ -1 & 0 & 1\\\\ 3 & 1 & -3 \end{pmatrix}.

Passo 4

Resolver B\,X=b com b=(0,1,0)^{T} usando X=B^{-1}b:
X = \begin{pmatrix} -5 & -2 & 6\\\\ -1 & 0 & 1\\\\ 3 & 1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Resposta

(a) A^{-1}=\displaystyle\frac12\begin{pmatrix}4 & -2 \\\\ -5 & 3\end{pmatrix},
\quad B^{-1}=\begin{pmatrix}-5 & -2 & 6\\\\ -1 & 0 & 1\\\\ 3 & 1 & -3\end{pmatrix}.
(b) A solução é
X = \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

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