Questão 4 (3 pontos). Seja m>n. Se A é uma matriz m \times n e B é uma matriz n \times m, de modo que A B e B A sāo matrizes quadradas, é possível que A B seja invertível?

Passo 1

O enunciado fala de duas matrizes A de tamanho m\times n e B de tamanho n\times m, com m>n. Como A B é uma matriz quadrada de ordem m, a pergunta é se ela pode ser invertível. Para responder, vamos usar conceitos de posto (rank) de matrizes.

Passo 2

Lembrando que, para qualquer produto de matrizes compatíveis, vale
\mathrm{rank}(AB) \;\le\;\mathrm{rank}(A).
Além disso, sempre
\mathrm{rank}(A)\;\le\;\min(m,n).
Como \min(m,n)=n, concluímos
\mathrm{rank}(AB)\;\le\;n.

Passo 3

Como m>n, fica claro que
\mathrm{rank}(AB)\;\le\;n\;<\;m.
Isto significa que o posto de AB é estritamente menor que o número de linhas (ou colunas) m. Logo, AB não tem posto máximo e, portanto, não é invertível.

Resposta

Não. A matriz AB não pode ser invertível.

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