Questão 4 (3 pontos). Seja
. Se
é uma matriz
e
é uma matriz
, de modo que
e
sāo matrizes quadradas, é possível que
seja invertível?
Passo 1
O enunciado fala de duas matrizes
de tamanho
e
de tamanho
, com
. Como
é uma matriz quadrada de ordem
, a pergunta é se ela pode ser invertível. Para responder, vamos usar conceitos de posto (rank) de matrizes.
Passo 2
Lembrando que, para qualquer produto de matrizes compatíveis, vale
Além disso, sempre
Como
, concluímos
Passo 3
Como
, fica claro que
Isto significa que o posto de
é estritamente menor que o número de linhas (ou colunas)
. Logo,
não tem posto máximo e, portanto, não é invertível.
Resposta
Não. A matriz
não pode ser invertível.