(5 pts) Calcule det A, para a matriz A=\left[\begin{array}{rrrr}3 & -1 & 5 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 & 1 \\\\ 2 & 0 & -1 & 3 \\\\ 1 & 1 & 2 & 0\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede \det A para
A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 5 & 0 \\[6pt] 0 & 2 & 0 & 1 \\[6pt] 2 & 0 & -1 & 3 \\[6pt] 1 & 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
O conteúdo aqui é determinante de matriz 4\times4. Como a segunda linha tem duas entradas zero, vamos usar a expansão de Laplace (cofatores) ao longo dessa linha para simplificar o cálculo.]

Passo 2

Pela expansão ao longo da segunda linha,
\det A = \sum_{j=1}^{4} a_{2j}\,C_{2j}
onde
C_{2j} = (-1)^{2+j}\det(M_{2j})
é o cofator, e M_{2j} é o menor obtido ao excluir a linha 2 e a coluna j.
Como a_{21}=0, a_{23}=0, só restam a_{22}=2 e a_{24}=1. Assim
\det A = 2\cdot(-1)^{2+2}\det(M_{22}) \;+\; 1\cdot(-1)^{2+4}\det(M_{24}) = 2\det(M_{22}) + \det(M_{24}).

Passo 3

Para M_{22}, tiramos linha 2 e coluna 2 de A, ficando a matriz
M_{22} = \begin{pmatrix} 3 & 5 & 0\\\\ 2 & -1 & 3\\\\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
Usando regra de Sarrus (ou cofatores em 3\times 3),
\det(M_{22}) =3\begin{vmatrix}-1 & 3\\\ 2 & 0\end{vmatrix} -5\begin{vmatrix}2 & 3\\\ 1 & 0\end{vmatrix} +0\cdot\bigl(\cdots\bigr) =3\bigl((-1)\cdot0 - 3\cdot2\bigr)-5\bigl(2\cdot0 -3\cdot1\bigr) =3(-6)-5(-3) =-18+15 =-3.

Passo 4

Para M_{24}, tiramos linha 2 e coluna 4 de A, ficando
M_{24} = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 5\\\\ 2 & 0 & -1\\\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}.
Calculando o determinante por Sarrus,
\det(M_{24}) =3\begin{vmatrix}0 & -1\\\ 1 & 2\end{vmatrix} -(-1)\begin{vmatrix}2 & -1\\\ 1 & 2\end{vmatrix} +5\begin{vmatrix}2 & 0\\\ 1 & 1\end{vmatrix}
=3(0\cdot2 -(-1)\cdot1) +1(2\cdot2 -(-1)\cdot1) +5(2\cdot1 -0\cdot1) =3\cdot1 + (4+1) +5\cdot2 =3+5+10 =18.

Passo 5

Substituindo em \det A = 2\det(M_{22}) + \det(M_{24}), obtemos
\det A = 2\cdot(-3) + 18 = -6 + 18 = 12.

Resposta

12

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