Considere o sistema linear
\left\{\begin{array}{c} x-a y=1 \\\ a x-4 y=b \end{array},\right.
para a e b constantes, com a \neq 0. Assinale verdadeiro ou falso para as seguintes afirmações:
O sistema linear é possível e determinado se, e somente se, a \neq \pm 2.
O sistema linear é possível e determinado se, e somente se, a=2.
Para (a, b)=(2,2) ou (a, b)=(-2,-2), o sistema é possível e indeterminado.
Para a= \pm 2, o sistema é impossível se, e somente se, b \neq a.
Para a= \pm 2, o sistema é impossível se, e somente se, b=a.

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Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} x - a\,y = 1,\\\ a\,x - 4\,y = b, \end{cases}
onde a e b são constantes e a\neq0. O conteúdo usado será a teoria de sistemas lineares 2\times2: calculamos o determinante da matriz dos coeficientes para classificar o sistema (única solução, infinitas soluções ou sem solução).

Passo 2

A matriz dos coeficientes é
A = \begin{pmatrix}1 & -a\\\ a & -4\end{pmatrix}
e seu determinante é
\Delta = \det(A) = 1\cdot(-4) - (-a)\cdot a = a^2 - 4.
Pelo teorema básico, o sistema tem solução única (é possível e determinado) se, e somente se, \Delta \neq 0, isto é, se
a^2 - 4 \neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad a \neq \pm 2.

Passo 3

Com base nisso:
  1. “O sistema é possível e determinado se, e somente se, a \neq \pm2.” — Verdadeiro (vem diretamente de \Delta\neq0).
  2. “O sistema é possível e determinado se, e somente se, a=2.” — Falso (também falha para a=-2).

Passo 4

Agora analisamos o caso a=\pm2\), quando \(\Delta=0\). - Se \(a=2\), o sistema fica \[\begin{cases} x - 2y = 1,\\\\ 2x - 4y = b. \end{cases}
A primeira equação multiplicada por 2 é 2x-4y=2\]. Logo, se \[b=2 as duas equações coincidem e há infinitas soluções; se b\neq2 ocorre contradição e não há solução.
  • Se a=-2, o sistema é \begin{cases} x + 2y = 1,\\\\ -2x - 4y = b, \end{cases}e a primeira vez \times(-2)\] dá \(-2x-4y=-2. Logo, se b=-2 há infinitas soluções; caso contrário, o sistema é impossível.

Passo 5

Das afirmações restantes:
3. “Para (a,b)=(2,2) ou (a,b)=(-2,-2), o sistema é possível e indeterminado.” — Verdadeiro.
4. “Para a=\pm2, o sistema é impossível se, e somente se, b \neq a.” — Verdadeiro.
5. “Para a=\pm2, o sistema é impossível se, e somente se, b = a.” — Falso (é o caso oposto).

Resposta

  1. Verdadeiro
  2. Falso
  3. Verdadeiro
  4. Verdadeiro
  5. Falso

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