\left\{\begin{array}{c} x-a y=1 \\\ a x-4 y=b \end{array},\right.
para a e b constantes, com a \neq 0. Assinale verdadeiro ou falso para as seguintes afirmações:
O sistema linear é possível e determinado se, e somente se, a \neq \pm 2.
O sistema linear é possível e determinado se, e somente se, a=2.
Para (a, b)=(2,2) ou (a, b)=(-2,-2), o sistema é possível e indeterminado.
Para a= \pm 2, o sistema é impossível se, e somente se, b \neq a.
Para a= \pm 2, o sistema é impossível se, e somente se, b=a.
onde a e b são constantes e a\neq0. O conteúdo usado será a teoria de sistemas lineares 2\times2: calculamos o determinante da matriz dos coeficientes para classificar o sistema (única solução, infinitas soluções ou sem solução).
Pelo teorema básico, o sistema tem solução única (é possível e determinado) se, e somente se, \Delta \neq 0, isto é, se
a^2 - 4 \neq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad a \neq \pm 2.
Passo 3
Com base nisso:
“O sistema é possível e determinado se, e somente se, a \neq \pm2.” — Verdadeiro (vem diretamente de \Delta\neq0).
“O sistema é possível e determinado se, e somente se, a=2.” — Falso (também falha para a=-2).
Passo 4
Agora analisamos o caso a=\pm2\), quando \(\Delta=0\).
- Se \(a=2\), o sistema fica
\[\begin{cases} x - 2y = 1,\\\\ 2x - 4y = b. \end{cases}
A primeira equação multiplicada por 2 é 2x-4y=2\]. Logo, se \[b=2 as duas equações coincidem e há infinitas soluções; se b\neq2 ocorre contradição e não há solução.
Se a=-2, o sistema é\begin{cases} x + 2y = 1,\\\\ -2x - 4y = b, \end{cases}e a primeira vez \times(-2)\] dá \(-2x-4y=-2. Logo, se b=-2 há infinitas soluções; caso contrário, o sistema é impossível.
Passo 5
Das afirmações restantes:
3. “Para (a,b)=(2,2) ou (a,b)=(-2,-2), o sistema é possível e indeterminado.” — Verdadeiro.
4. “Para a=\pm2, o sistema é impossível se, e somente se, b \neq a.” — Verdadeiro.
5. “Para a=\pm2, o sistema é impossível se, e somente se, b = a.” — Falso (é o caso oposto).