Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n>1. Assinale verdadeiro ou falso para as seguintes afirmações:
Se A B^{T}=0 então \operatorname{det}(A)=0 ou \operatorname{det}(B)=0.
Se a primeira linha de A é igual a 2 vezes a segunda linha, entāo \operatorname{det}(A)=0.
Se \operatorname{det}(A)=0 então A=0.
\operatorname{det}(2 A)=2 \operatorname{det}(A).
$\operatorname{det}\left(A{2}\right)=(\operatorname{det}(A)){2}).

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes quadradas A e B de ordem n>1 e pede para decidir se cada afirmação sobre determinantes é verdadeira ou falsa. Vamos usar propriedades básicas de determinante: multiplicatividade, comportamento em matrizes com linhas dependentes e escalares.

Passo 2

Para a afirmação “Se A B^{T}=0 então \det(A)=0 ou \det(B)=0”:
Como A B^{T}=0 é a matriz nula, temos
\det\bigl(A B^{T}\bigr)=0.
Mas \det(A B^{T})=\det(A)\,\det(B^{T}) e \det(B^{T})=\det(B), logo
\det(A)\,\det(B)=0,
de onde \det(A)=0 ou \det(B)=0. Portanto, é verdadeira.

Passo 3

Para a afirmação “Se a primeira linha de A é igual a 2 vezes a segunda linha, então \det(A)=0”:
Linhas proporcionais tornam a matriz com linhas linearmente dependentes, o que faz o determinante ser zero. Logo, é verdadeira.

Passo 4

Para a afirmação “Se \det(A)=0 então A=0”: \det(A)=0 significa apenas que A é singular. Há muitas matrizes não nulas com determinante zero (por exemplo \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix}). Logo, é falsa.

Passo 5

Para a afirmação “ \det(2A)=2\,\det(A)”:
A propriedade geral é \det(cA)=c^n\det(A) para matriz n\times n. Como n>1, tem-se \det(2A)=2^n\det(A)\neq2\det(A). Portanto, é falsa.

Passo 6

Para a afirmação “ \det\bigl(A^{2}\bigr)=(\det(A))^{2}”:
Usamos multiplicatividade do determinante em produtos:
\det\bigl(A^2\bigr)=\det(A\cdot A)=\det(A)\,\det(A)=(\det(A))^2.
Logo, é verdadeira.

Resposta

  1. Verdadeiro
  2. Verdadeiro
  3. Falso
  4. Falso
  5. Verdadeiro

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