Sejam
e
matrizes quadradas de ordem
. Assinale verdadeiro ou falso para as seguintes afirmações:
Se
então
ou
.
Se a primeira linha de
é igual a 2 vezes a segunda linha, entāo
.
Se
então
.
.
$\operatorname{det}\left(A{2}\right)=(\operatorname{det}(A)){2}).
Se a primeira linha de
Se
$\operatorname{det}\left(A{2}\right)=(\operatorname{det}(A)){2}).
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes quadradas
e
de ordem
e pede para decidir se cada afirmação sobre determinantes é verdadeira ou falsa. Vamos usar propriedades básicas de determinante: multiplicatividade, comportamento em matrizes com linhas dependentes e escalares.
Passo 2
Para a afirmação “Se
então
ou
”:
Como é a matriz nula, temos
Como
Mas
e
, logo
de onde
ou
. Portanto, é verdadeira.
Passo 3
Para a afirmação “Se a primeira linha de
é igual a 2 vezes a segunda linha, então
”:
Linhas proporcionais tornam a matriz com linhas linearmente dependentes, o que faz o determinante ser zero. Logo, é verdadeira.
Linhas proporcionais tornam a matriz com linhas linearmente dependentes, o que faz o determinante ser zero. Logo, é verdadeira.
Passo 4
Para a afirmação “Se
então
”:
significa apenas que
é singular. Há muitas matrizes não nulas com determinante zero (por exemplo
). Logo, é falsa.
Passo 5
Para a afirmação “
”:
A propriedade geral é para matriz
. Como
, tem-se
. Portanto, é falsa.
A propriedade geral é
Passo 6
Para a afirmação “
”:
Usamos multiplicatividade do determinante em produtos:
Usamos multiplicatividade do determinante em produtos:
Logo, é verdadeira.
Resposta
- Verdadeiro
- Verdadeiro
- Falso
- Falso
- Verdadeiro