Com relação à matriz A=\left[\begin{array}{lll}0 & 1 & 2 \\\\ 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 3 & 6\end{array}\right]
é possível encontrar X=\left[\begin{array}{lll}x_{1} & x_{2} & x_{3} \\\ x_{4} & x_{5} & x_{6} \\\ x_{7} & x_{8} & x_{9}\end{array}\right]
tal que A X=I_{3}, onde I_{3} denota a matriz identidade de ordem 3.
Escolha uma opção:
Falso
Verdadeiro

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\[6pt] 1 & 2 & 3 \\[6pt] 1 & 3 & 6 \end{pmatrix}
e pergunta se existe X tal que A\,X = I_3. Isso é equivalente a verificar se A é invertível, isto é, se \det(A)\neq 0.]

Passo 2

Para uma matriz 3\times 3, podemos calcular \det(A) por expansão de Laplace na primeira linha:
\det(A) = a_{11}\det\!\begin{pmatrix}a_{22}&a_{23}\\[3pt]a_{32}&a_{33}\end{pmatrix} - a_{12}\det\!\begin{pmatrix}a_{21}&a_{23}\\[3pt]a_{31}&a_{33}\end{pmatrix} + a_{13}\det\!\begin{pmatrix}a_{21}&a_{22}\\[3pt]a_{31}&a_{32}\end{pmatrix}.]

Passo 3

Identificando os elementos de A:
a_{11}=0,\;a_{12}=1,\;a_{13}=2, \quad a_{21}=1,\;a_{22}=2,\;a_{23}=3, \quad a_{31}=1,\;a_{32}=3,\;a_{33}=6.
Substituindo:
\det(A) =0\cdot\det\begin{pmatrix}2&3\\\ 3&6\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1&3\\\ 1&6\end{pmatrix} +2\cdot\det\begin{pmatrix}1&2\\\ 1&3\end{pmatrix}.
Calculando os menores:
\det\begin{pmatrix}2&3\\\ 3&6\end{pmatrix}=12-9=3, \quad \det\begin{pmatrix}1&3\\\ 1&6\end{pmatrix}=6-3=3, \quad \det\begin{pmatrix}1&2\\\ 1&3\end{pmatrix}=3-2=1.
Logo
\det(A)=0\cdot3 - 1\cdot3 + 2\cdot1 = -3 + 2 = -1 \neq 0.

Passo 4

Como \det(A)=-1\neq 0, concluímos que A é invertível. Portanto existe uma matriz X = A^{-1} tal que
A\,X = I_3.

Resposta

Verdadeiro

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