Sejam A=\left[\begin{array}{ll}1 & 3 \\\\ 0 & 1\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{cc}-1 & 1 \\\\ 5 & 1\end{array}\right], determine os possíveis valores de x que tornam a equação matricial abaixo verdadeira: A \cdot\left[\begin{array}{cc}x^{2}+10 x & -2 \\\\ 5 & 1\end{array}\right]=B
Escolha uma opção:
a. x \in\{8,2\}
b. x \in\{-8,2\}
c. x \in\{-8,-2\}
d. NDA
e. x \in\{8,-2\}

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes
A = \begin{pmatrix}1 & 3 \\[6pt] 0 & 1\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B = \begin{pmatrix}-1 & 1 \\[6pt] 5 & 1\end{pmatrix}
e pede os valores de x tais que
A \,\begin{pmatrix}x^{2}+10x & -2 \\[3pt] 5 & 1\end{pmatrix} = B.
O conteúdo aqui é multiplicação de matrizes e, em seguida, resolução de uma equação quadrática ao igualar entradas correspondentes.]

Passo 2

Vamos calcular o produto
A \,M(x) \quad\text{com}\quad M(x)=\begin{pmatrix}x^{2}+10x & -2 \\[3pt] 5 & 1\end{pmatrix}.
Pela definição de multiplicação de matrizes,
A\,M(x) = \begin{pmatrix} 1\cdot(x^{2}+10x)+3\cdot5 & 1\cdot(-2)+3\cdot1 \\[6pt] 0\cdot(x^{2}+10x)+1\cdot5 & 0\cdot(-2)+1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x^{2}+10x+15 & 1 \\[3pt] 5 & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Queremos que esse resultado seja igual a
B = \begin{pmatrix}-1 & 1 \\[3pt] 5 & 1\end{pmatrix}.
Comparando as entradas, vemos que as posições (1,2), (2,1) e (2,2) já batem identicamente, restando a condição na posição (1,1):
x^{2}+10x+15 = -1.]

Passo 4

Reescrevendo a equação quadrática,
x^{2} + 10x + 16 = 0.
O discriminante é
\Delta = 10^{2} - 4\cdot1\cdot16 = 100 - 64 = 36,
portanto
x = \frac{-10 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-10 \pm 6}{2},
que dá
x = -2 \quad\text{ou}\quad x = -8.

Resposta

x \in \{-8, -2\}, ou seja, alternativa (c).

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