Sejam a e b números reais tais que A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\\\ 0 & 1\end{array}\right] satisfaz a equação A^{2}=a \cdot A+b \cdot I, em que I é a matriz identidade de ordem 2 . Então o valor do produto a b é dado por:
Escolha uma opção:
a. 2
b. -1
c. NDA
d. 1
e. -2

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix}1 & 2\\[6pt]0 & 1\end{pmatrix}
e pede números reais a e b tais que
A^2 = a\,A + b\,I,
onde I é a identidade 2\times2. Vamos usar multiplicação de matrizes e, em seguida, igualar as entradas correspondentes.]

Passo 2

Calculamos
A^2 = \begin{pmatrix}1 & 2\\[3pt]0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 2\\[3pt]0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot1+2\cdot0 & 1\cdot2+2\cdot1\\[4pt] 0\cdot1+1\cdot0 & 0\cdot2+1\cdot1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 4\\[3pt]0 & 1\end{pmatrix}.]

Passo 3

Expressão de aA + bI:
aA + bI = a\begin{pmatrix}1 & 2\\[3pt]0 & 1\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}1 & 0\\[3pt]0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a+b & 2a\\[3pt]0 & a+b\end{pmatrix}.]

Passo 4

Igualando A^2 e aA+bI por entradas, obtemos o sistema
\begin{cases} a + b = 1,\\[4pt] 2a = 4. \end{cases}]

Passo 5

Da segunda equação segue a = 2. Substituindo na primeira:
2 + b = 1 \quad\Longrightarrow\quad b = -1.
Logo
a \cdot b = 2 \cdot (-1) = -2.

Resposta

e. -2

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