Considere o sistema linear
\left\{\begin{array}{l}a_{1} x+b_{1} y+c_{1} z=d_{1} \a_{2} x+b_{2} y+c_{2} z=d_{2} \a_{3} x+b_{3} y+c_{3} z=d_{3}\end{array}\right.
de três equações e três incógnitas que representam três planos no espaço x y z. Descreva em cada um dos seguintes casos o conjunto-solução do sistema.
P_{1} e P_{2} se interceptam em uma reta L que está contida em P_{3}.

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema de três equações lineares em três incógnitas que representam três planos P_{1},P_{2},P_{3} no espaço (x,y,z). No caso considerado, P_{1} e P_{2} intersectam-se numa reta L e essa reta está inteiramente contida em P_{3}. Queremos descrever o conjunto-solução desse sistema.

Passo 2

Como P_{1}\cap P_{2}=L, todos os pontos de L satisfazem simultaneamente as equações de P_{1} e P_{2}. Além disso, por hipótese, L\subset P_{3}, logo qualquer ponto de L também satisfaz a equação de P_{3}. Isso mostra que a terceira equação é redundante quando já impomos as duas primeiras.

Passo 3

Portanto o sistema não tem solução única nem é incompatível: ele admite infinitas soluções, exatamente todos os pontos da reta L. Podemos escrever o conjunto-solução em forma paramétrica como
S=\bigl\{P_{0}+t\,\mathbf{v}\mid t\in\mathbb{R}\bigr\},
onde P_{0} é um ponto qualquer de L e \mathbf{v} é um vetor diretor de L.

Resposta

O conjunto-solução é a reta L, interseção de P_{1} e P_{2}, visto que L\subset P_{3}.

Exercícios relacionados