Considere o sistema linear
\left\{\begin{array}{l}a_{1} x+b_{1} y+c_{1} z=d_{1} \a_{2} x+b_{2} y+c_{2} z=d_{2} \a_{3} x+b_{3} y+c_{3} z=d_{3}\end{array}\right.
de três equações e três incógnitas que representam três planos no espaço x y z. Descreva em cada um dos seguintes casos o conjunto-solução do sistema.
P_{1} e P_{2} se interceptam em uma reta L que, por sua vez, intercepta P_{3} em um único ponto.

Passo 1

O enunciado dá um sistema de três equações lineares em três incógnitas, que representam três planos P_{1},P_{2},P_{3} em \mathbb{R}^{3}. Dizem que P_{1}\cap P_{2} é uma reta L e que essa reta intersecta P_{3} num único ponto. Vamos usar a geometria das interseções de planos para descrever o conjunto-solução.

Passo 2

Como P_{1}\cap P_{2}=L é uma reta, os pontos (x,y,z) que satisfazem simultaneamente
a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z=d_{1},\quad a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z=d_{2}
podem ser parametrizados por um parâmetro t. Ou seja, existem um ponto fixo (x_{0},y_{0},z_{0}) em L e um vetor direção \bigl(u_{1},u_{2},u_{3}\bigr) tal que
(x,y,z)=(x_{0},y_{0},z_{0})+t\,(u_{1},u_{2},u_{3}),\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 3

Para achar a interseção de L com P_{3}, inserimos essa parametrização na equação de P_{3}:
a_{3}\bigl(x_{0}+t\,u_{1}\bigr)+b_{3}\bigl(y_{0}+t\,u_{2}\bigr)+c_{3}\bigl(z_{0}+t\,u_{3}\bigr)=d_{3}.
Isso é uma equação linear em t. Como o enunciado garante interseção num único ponto, o coeficiente de t não é zero, de modo que existe apenas uma solução t=t_{*}.

Passo 4

O valor t_{*} determina exatamente um ponto
(x_{*},y_{*},z_{*})=(x_{0},y_{0},z_{0})+t_{*}(u_{1},u_{2},u_{3})
que é o único que satisfaz todas as três equações.

Resposta

O conjunto-solução é o único ponto \{(x_{*},y_{*},z_{*})\}, isto é, a interseção da reta L=P_{1}\cap P_{2} com o plano P_{3}.

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