Considere o sistema linear
de três equações e três incógnitas que representam três planos no espaço
. Descreva em cada um dos seguintes casos o conjunto-solução do sistema.
e
se interceptam em uma reta
que, por sua vez, intercepta
em um único ponto.
Passo 1
O enunciado dá um sistema de três equações lineares em três incógnitas, que representam três planos
em
. Dizem que
é uma reta
e que essa reta intersecta
num único ponto. Vamos usar a geometria das interseções de planos para descrever o conjunto-solução.
Passo 2
Como
é uma reta, os pontos
que satisfazem simultaneamente
podem ser parametrizados por um parâmetro
. Ou seja, existem um ponto fixo
em
e um vetor direção
tal que
Passo 3
Para achar a interseção de
com
, inserimos essa parametrização na equação de
:
Isso é uma equação linear em
. Como o enunciado garante interseção num único ponto, o coeficiente de
não é zero, de modo que existe apenas uma solução
.
Passo 4
O valor
determina exatamente um ponto
que é o único que satisfaz todas as três equações.
Resposta
O conjunto-solução é o único ponto
, isto é, a interseção da reta
com o plano
.