Seja V o espaço vetorial de matrizes 2 \times 2 triangulares superiores. Sejam:
\beta=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]\right\}, \quad \beta_{1}=\left\{\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ll} 0 & 1 \\\\ 0 & 1 \end{array}\right]\right\}
duas bases de V. Ache [I]_{\beta}^{\beta_{1}}.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de mudança de base do operador identidade
\mathrm{Id}:V\to V
da base
\beta=\{E_{11},E_{12},E_{22}\}
para
\beta_{1}=\{u_{1},u_{2},u_{3}\},
onde
E_{11}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&0\end{pmatrix},\; E_{12}=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&0\end{pmatrix},\; E_{22}=\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix},
u_{1}=E_{11},\quad u_{2}=\begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}=E_{11}+E_{22},\quad u_{3}=\begin{pmatrix}0&1\\\ 0&1\end{pmatrix}=E_{12}+E_{22}.
Para achar [I]_{\beta}^{\beta_{1}}, a gente expressa cada vetor de \beta como combinação linear dos u_i.

Passo 2

Anotando coeficientes genéricos \,a\,u_{1}+b\,u_{2}+c\,u_{3}, temos
a\,u_{1}+b\,u_{2}+c\,u_{3} = a\,E_{11}+b\,(E_{11}+E_{22})+c\,(E_{12}+E_{22}) =(a+b)\,E_{11}+c\,E_{12}+(b+c)\,E_{22}.

Passo 3

Para v_{1}=E_{11} queremos
(a+b)\,E_{11}+c\,E_{12}+(b+c)\,E_{22}=E_{11}.
Comparando coeficientes dá
a+b=1,\quad c=0,\quad b+c=0 \;\Longrightarrow\; b=0,\;a=1,\;c=0.
Logo as coordenadas de E_{11} em \beta_{1} são \,(1,0,0).

Passo 4

Para v_{2}=E_{12} queremos
(a+b)\,E_{11}+c\,E_{12}+(b+c)\,E_{22}=E_{12}.
Comparando coeficientes dá
a+b=0,\quad c=1,\quad b+c=0 \;\Longrightarrow\; c=1,\;b=-1,\;a=1.
Então as coordenadas de E_{12} em \beta_{1} são \,(1,-1,1).

Passo 5

Para v_{3}=E_{22} queremos
(a+b)\,E_{11}+c\,E_{12}+(b+c)\,E_{22}=E_{22}.
Comparando coeficientes dá
a+b=0,\quad c=0,\quad b+c=1 \;\Longrightarrow\; c=0,\;b=1,\;a=-1.
As coordenadas de E_{22} em \beta_{1} são \,(-1,1,0).

Resposta

Agrupando as colunas, a matriz de \mathrm{Id} de \beta para \beta_{1} é
[I]_{\beta}^{\beta_{1}} =\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\\\ 0 & -1 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.

Exercícios relacionados