Q2: Considere a transformação linear T(x, y, z)= (x+2 y-2 z,-x-y,-2 x-6 y+7 z).
Determine B a matriz que representa a INVERSA de T. A entrada b_{33} vale:
(A) -5
(B) -4
(C) -3
(D) -2
(E) -1
(F) 0
(G) 1
(H) 2

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 definida por
T(x,y,z) = (x + 2y - 2z,\;-x - y,\;-2x - 6y + 7z)
e pede a entrada b_{33} da matriz B que representa T^{-1} na base canônica.
Conteúdo: representação matricial de transformação linear, inversa de matriz e solução de sistemas lineares.

Passo 2

Escrevendo T em coordenadas, sua matriz A na base canônica é
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2\\\\ -1 & -1 & 0\\\\ -2 & -6 & 7 \end{pmatrix}.

Passo 3

Seja B = A^{-1}. Sabemos que a terceira coluna de B, que chamamos de \mathbf b = (b_{13},b_{23},b_{33})^T, satisfaz
A\,\mathbf b = \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 4

Escrevendo esse produto obtemos o sistema
\begin{cases} b_{13} + 2b_{23} - 2b_{33} = 0,\\\\ -\,b_{13} - b_{23} = 0,\\\\ -2b_{13} - 6b_{23} +7b_{33} = 1. \end{cases}
Da segunda equação vem b_{13} = -\,b_{23}. Substituindo na primeira:
-\,b_{23} + 2b_{23} - 2b_{33} = 0 \quad\Longrightarrow\quad b_{23} = 2\,b_{33},
logo b_{13} = -2\,b_{33}.

Passo 5

Na terceira equação substituímos b_{13} e b_{23}:
-2(-2b_{33}) - 6(2b_{33}) + 7b_{33} = 1 \quad\Longrightarrow\quad 4b_{33} -12b_{33} +7b_{33} = 1 \quad\Longrightarrow\quad -\,b_{33} = 1 \quad\Longrightarrow\quad b_{33} = -1.

Resposta

A entrada b_{33} vale -1, ou seja, alternativa (E).

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