Resolva os sistemas abaixo. Possui solução? A solução é única? Possui infinitas soluções?
\left\{\begin{array}{l}x+2 y+3 z=4, \\\\ 2 x-y+z=5, \\\ x-y-z=-1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} x+2y+3z=4,\\\\ 2x-y+z=5,\\\ x-y-z=-1, \end{cases}
e pergunta se há solução, se é única ou infinita. O conteúdo aqui é resolução de sistema pelo método de eliminação ou substituição.

Passo 2

Escolho a terceira equação para isolar x:
x - y - z = -1 \quad\Longrightarrow\quad x = -1 + y + z.

Passo 3

Substituo x=-1+y+z nas duas primeiras equações:
Para x+2y+3z=4:
(-1+y+z) + 2y + 3z = 4 \quad\Longrightarrow\quad 3y + 4z = 5.
Para 2x - y + z = 5:
2(-1+y+z) - y + z = 5 \quad\Longrightarrow\quad y + 3z = 7.
Agora temos o sistema 2\times 2:
\begin{cases} 3y + 4z = 5,\\\ y + 3z = 7. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo o 2\times 2 por eliminação: multiplico a segunda equação por 3 e subtraio da primeira:
3y + 4z = 5, \quad 3(y + 3z) = 21 \;\Longrightarrow\; 3y + 9z = 21,
(3y+9z) - (3y+4z) = 21 - 5 \quad\Longrightarrow\quad 5z = 16 \quad\Longrightarrow\quad z = \frac{16}{5}.

Passo 5

Com z=\tfrac{16}{5}, uso y + 3z = 7:
y + 3\cdot\frac{16}{5} = 7 \quad\Longrightarrow\quad y = 7 - \frac{48}{5} = -\frac{13}{5}.
Finalmente, volto em x = -1 + y + z:
x = -1 + \Bigl(-\frac{13}{5}\Bigr) + \frac{16}{5} = -1 + \frac{3}{5} = -\frac{2}{5}.

Passo 6

Como chegamos a um único triplo \bigl(x,y,z\bigr), o sistema tem solução e ela é única.

Resposta

(x,y,z)=\Bigl(-\tfrac{2}{5},-\tfrac{13}{5},\tfrac{16}{5}\Bigr).

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