Considere o sistema linear
ll x+y+2 w & =1 3 x+3 y-z+5 w & =3 2 x+2 y+(a^2-5) w & =a-1
Determine para que valores de a o sistema tem solução e encontre a solução geral nestes casos.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear com incógnitas
O conteúdo é eliminação de Gauss e análise de consistência em função de (a].

Passo 2

Escrevemos a matriz aumentada e fazemos operações para triangularizar:
[cccc|c 1 & 1 & 0 & 2 & 1 3 & 3 & -1 & 5 & 3 2 & 2 & 0 & a^2-5 & a-1 ] ;xrightarrowR2to R2-3R1,;R3to R3-2R1; [cccc|c 1 & 1 & 0 & 2 & 1 0 & 0 & -1 & -1 & 0 0 & 0 & 0 & a^2-9 & a-3 ]

Passo 3

Da terceira linha reduzida vem (a^2-9)w=a-3.
  • Se a^2-9neq0 (isto é, aneqpm3), podemos resolver w=a-3a^2-9=1a+3
  • Se a=3, a terceira equação vira 0=0 (não impõe condição).
  • Se a=-3, a terceira equação vira 0=-6, impossível, logo sem solução.

Passo 4

Caso aneqpm3:
da segunda linha reduzida -z-w=0 segue
z=-w=-1a+3
da primeira linha original
x+y+2w=1Longrightarrow x=1-y-2w =1-y-2a+3 =a+1a+3-y
Como y é livre, chamemos y=t. A solução geral é
(x,y,z,w) =l(tfraca+1a+3,0,-tfrac1a+3,tfrac1a+3r) +t,(-1,1,0,0), tinR

Passo 5

Caso a=3: só restam as duas primeiras equações reduzidas
x+y+2w=1, -z-w=0;Longrightarrow;z=-w,
logo temos dois parâmetros livres, digamos y=s e w=t. Daí
x=1-s-2t, y=s, z=-t, w=t, s,tinR

Resposta

O sistema tem solução para todo aneq-3 e não tem solução quando a=-3.
Para aneqpm3 a solução geral é
(x,y,z,w) =l(tfraca+1a+3,0,-tfrac1a+3,tfrac1a+3r) +t,(-1,1,0,0),;tinR,
para a=3 a solução geral é
(x,y,z,w)=(1-s-2t,;s,;-t,;t), s,tinR

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