Encontre as coordenadas do vetor (4,6,7) de R^3 em relação às seguintes bases:
(i) Base Canônica: alpha=e1, e2, e3;
(ii) beta=(1,1,2),(2,1,2),(2,1,1)
(iii) de<a=(3,3,3),(2,5,-3),(-1,3,3)

Passo 1

O enunciado pede as coordenadas do vetor v=(4,6,7) em três bases de R^3. O conteúdo aqui é mudança de base: em cada caso precisamos escrever
v = sumi lambdai,bi
onde bi é a base em questão, e então resolver um sistema linear para encontrar os escalares lambdai.

Passo 2

Na base canônica alpha=e1,e2,e3 já sabemos que as coordenadas de
v=(4,6,7)
são simplesmente os componentes de v. Logo
[v]alpha = (4,6,7)

Passo 3

Na base
Igualando componente a componente, obtemos o sistema
Fazendo eliminação: da primeira subtraímos a segunda para obter , logo
Assim

Passo 4

Na base
Isso dá o sistema
Subtraindo a primeira equação das outras duas obtemos
Subtraindo-as: . Então
e finalmente
Logo

Resposta

(i) [v]alpha = (4,6,7)
(ii) [v]beta = (8,-7,5)
(iii) [v]de<a = l(tfrac15596, -tfrac18, tfrac1932r)

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