Seja
A=[rrr 1 & 0 & -1 1 & -1 & 1 2 & 2 & -1 ]
Mostre que A é invertível e determine sua inversa.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A= 1 & 0 & -1 1 & -1 & 1 2 & 2 & -1
e pede para mostrar que ela é invertível e encontrar A^-1.
Conteúdo necessário: cálculo de determinante para testar invertibilidade e uso da fórmula
A^-1 = 1det(A),adj(A),
onde adj(A) é a transposta da matriz dos cofatores de A.

Passo 2

Calcular det(A) por expansão na primeira linha.
det(A) =1cdotdet-1 & 1 2 & -1 -0cdot(cdots) +(-1)cdotdet1 & -1 2 & 2
Agora
det-1 & 1 2 & -1 =(-1)(-1)-1cdot2 =1-2=-1,
det1 & -1 2 & 2 =1cdot2-(-1)cdot2 =2+2=4
Logo
det(A) =1cdot(-1)+(-1)cdot4 =-1-4 =-5neq0,
portanto A é invertível.

Passo 3

Definir o cofator Cij=(-1)^i+jMij, onde Mij é o menor complementar de aij.
Por exemplo,
M11 =det-1 & 1 2 & -1=-1, C11=(-1)^2(-1)=-1
Fazendo para todas as entradas, obtemos a matriz de cofatores
C= -1 & 3 & 4 -2 & 1 & -2 -1 & -2 & -1

Passo 4

A adjunta de A é a transposta de C:
adj(A)=C^T = -1 & -2 & -1 3 & 1 & -2 4 & -2 & -1

Passo 5

Usar
A^-1=1det(A),adj(A) =1-5 -1 & -2 & -1 3 & 1 & -2 4 & -2 & -1 =-15 -1 & -2 & -1 3 & 1 & -2 4 & -2 & -1
Multiplicando escalarmente, chega-se a
A^-1 = tfrac15 & tfrac25 & tfrac15 -tfrac35 & -tfrac15 & tfrac25 -tfrac45 & tfrac25 & tfrac15

Resposta

A^-1 = tfrac15 & tfrac25 & tfrac15 -tfrac35 & -tfrac15 & tfrac25 -tfrac45 & tfrac25 & tfrac15

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