Considere o sistema linear lx-y=3 2 x-2 y=k. Para quais valores de k o sistema tem:
(a) Uma única solução.
(b) Infinitas soluções.
(c) Não possui solução.

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema linear
x - y = 3, 2x - 2y = k
O conteúdo envolvido é estudo de sistemas lineares via determinante da matriz dos coeficientes e critério de compatibilidade (Rouché–Fr"obenius).

Passo 2

Montamos a matriz dos coeficientes e o vetor de termos independentes :

Passo 3

Calculamos o determinante de A:
det(A) = 1cdot(-2) - (-1)cdot 2 = -2 -(-2) = 0
Como det(A)=0, o sistema nunca tem solução única.

Passo 4

Quando det(A)=0, o sistema é ou compatível indeterminado (infinitas soluções) ou incompatível (nenhuma solução). Para distinguir, verificamos se as retas são proporcionais.

Passo 5

Multiplicando a primeira equação por 2 obtemos
2x - 2y = 6
Portanto a segunda equação 2x - 2y = k é múltipla da primeira se, e somente se, k = 6.

Passo 6

  • Se k = 6, ambas equações coincidem e o sistema é compatível indeterminado (infinitas soluções).
  • Se k neq 6, as equações são paralelas sem interseção e o sistema é incompatível (nenhuma solução).

Resposta

(a) Não existe valor de k que torne o sistema possível e determinado.
(b) O sistema tem infinitas soluções se, e somente se, k = 6.
(c) O sistema não possui solução para todo k neq 6.

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