Mostre que para o sistema linear
l x+y+2 z=a x+z=b 2 x+y+3 z=c
ser consistente, devemos ter c=a+b.

Passo 1

O sistema em
Queremos descobrir para quais valores de (a,b,c] existe solução (isto é, quando o sistema é consistente). Para isso, vamos explorar combinações lineares das equações.

Passo 2

Da segunda equação temos
x + z = b Longrightarrow x = b - z

Passo 3

Some a primeira equação com a segunda:
(x+y+2z);+;(x+z) = a + b Longrightarrow 2x + y + 3z = a + b
Mas a soma das duas primeiras dá exatamente o lado esquerdo da terceira equação. Logo, para que exista solução é necessário que o termo independente da terceira seja o mesmo:
c = a + b

Passo 4

Agora, suponha c = a + b. Então a terceira equação é combinação das duas primeiras e não adiciona restrição nova. O sistema reduz-se a duas equações em três incógnitas, garantindo existência de infinitas soluções.

Passo 5

Por exemplo, tomando z = t como parâmetro livre, da segunda equação x = b - t e da primeira
y = a - x - 2z = a - (b - t) - 2t = a - b - t
Assim
(x,y,z) = l(b - t,;a - b - t,;tr),
valendo para todo tinR.

Resposta

Para que o sistema seja consistente, deve ocorrer
c = a + b

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