Seja W o subespaço vetorial de M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) gerado pelas matrizes \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ -1 & 2\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}1 & 1 \\\\ 1 & 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 0 & 2\end{array}\right]. Com respeito ao produto interno de Frobenius em M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) :
(a) Encontre uma base ortonormal para W.
(b) Encontre a matriz de \mathbb{W} que está mais próxima da matriz \left[\begin{array}{cc}1 & 1 \\\\ 0 & -2\end{array}\right].
(c) Quem é o complemento ortogonal \mathbb{W}^{\perp} ?
e o produto interno é o de Frobenius \langle A,B\rangle=\mathrm{tr}(A^{T}B).
Precisamos:
(a) uma base ortonormal de W,
(b) a projeção da matriz \displaystyle A=\begin{pmatrix}1&1\\\ 0&-2\end{pmatrix} em W,
(c) o complemento ortogonal W^{\perp}.