Seja
, com
e
vetores quaisquer não-nulos. Mostre que
é bissetriz do ângulo entre
e
.
Passo 1
O enunciado diz que
e pede para mostrar que
bisseta o ângulo entre
e
. Em geometria vetorial, mostrar que um vetor é bissetriz de um ângulo significa provar que ele faz o mesmo ângulo com
e com
. Vamos usar produto escalar e a ideia de normalizar vetores, isto é, trabalhar com vetores unitários.
Passo 2
Observe que
Portanto
é paralelo a
onde definimos
Passo 3
Como
é paralelo a
, os ângulos
e
coincidem com
respectivamente. Basta então mostrar que esses dois ângulos são iguais.
Passo 4
Usamos produto escalar para obter o cosseno de cada ângulo. Primeiro note que
e
, onde
.
O cosseno de
é
Analogamente,
Passo 5
Como os cossenos dos dois ângulos são iguais, concluímos
logo
forma o mesmo ângulo com
e com
. Isso prova que
é a bissetriz do ângulo entre
e
.
Resposta
A direção de
coincide com a da soma dos vetores unitários
, de onde segue que
faz ângulos iguais com
e
. Portanto
é a bissetriz do ângulo entre
e
.