Seja c=|b| a+|a| b, com a, b e c vetores quaisquer não-nulos. Mostre que c é bissetriz do ângulo entre a e b.

Passo 1

O enunciado diz que c=|b|a+|a|b e pede para mostrar que c bisseta o ângulo entre a e b. Em geometria vetorial, mostrar que um vetor é bissetriz de um ângulo significa provar que ele faz o mesmo ângulo com a e com b. Vamos usar produto escalar e a ideia de normalizar vetores, isto é, trabalhar com vetores unitários.

Passo 2

Observe que
c=|b|a+|a|b =|a||b|l(a|a|+b|b|r)
Portanto c é paralelo a
u+v,
onde definimos
u=a|a|, v=b|b|

Passo 3

Como c é paralelo a u+v, os ângulos theta1=ang<=(c,a) e theta2=ang<=(c,b) coincidem com
ang<=(u+v,u) e ang<=(u+v,v),
respectivamente. Basta então mostrar que esses dois ângulos são iguais.

Passo 4

Usamos produto escalar para obter o cosseno de cada ângulo. Primeiro note que |u|=|v|=1 e ucdotv=cosalpha, onde alpha=ang<=(a,b).
O cosseno de ang<=(u+v,u) é
cos!l(u+v,,ur) =(u+v)cdotu|u+v|;|u| =1+cosalpharaiz|u|^2+2ucdotv+|v|^2 =1+cosalpharaiz2+2cosalpha
Analogamente,
cos!l(u+v,,vr) =(u+v)cdotv|u+v|;|v| =cosalpha+1raiz2+2cosalpha =1+cosalpharaiz2+2cosalpha

Passo 5

Como os cossenos dos dois ângulos são iguais, concluímos
ang<=(u+v,u) =ang<=(u+v,v),
logo c forma o mesmo ângulo com a e com b. Isso prova que c é a bissetriz do ângulo entre a e b.

Resposta

A direção de c coincide com a da soma dos vetores unitários a|a|+b|b|, de onde segue que c faz ângulos iguais com a e b. Portanto c é a bissetriz do ângulo entre a e b.

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