Note que podemos escrever este sistema linear na forma matricial
(lll -1 & 6 & -8 -2 & 6 & -4 )(l x y z )=binom10
a) Verifique que a matriz X=(lx y z)=(l1 13 3) é uma solução do sistema linear.
b) Resolva o sistema linear e verifique que toda "matriz-solução"é da forma
X=(l x y z )=lambda(l 4 2 1 )+(l 1 13 0 )
para lambda in R.
c) Verifique que (lx y z)=lambda(l4 2 1) é solução do sistema linear homogêneo
(lll 1 & 6 & -8 2 & 6 & -4 )(l x y z )=binom00
Passo 1
O enunciado trata de um sistema linear com duas equações e três incógnitas
-,x+6,y-8,z=1, -,2,x+6,y-4,z=0,
ou seja, é um sistema subdeterminado que tem infinitas soluções. Vamos primeiro verificar uma solução particular, depois encontrar a forma geral da solução (soma de uma solução particular com a solução geral do sistema homogêneo) e por fim checar que o espaço nulo é gerado por l(4,2,1r)^T.
Passo 2
Verificamos que a solução particular
Xp=1[6pt]tfrac13[3pt]0
satisfaz o sistema. De fato, na primeira equação
-,1+6cdottfrac13-8cdot0=-1+2=1,
e na segunda
-,2cdot1+6cdottfrac13-4cdot0=-2+2=0
Logo Xp é solução de S.]
Passo 3
Para achar a solução geral, tomamos como parâmetro livre e substituímos em uma das equações resolvidas para . Da segunda equação,
Agora usamos a primeira equação para :
Portanto a solução geral é
]
Passo 4
Para o sistema homogêneo associado
verificamos que
é solução, pois
Resposta
a) Ao substituir l(x,y,zr)=(1,tfrac13,0) nas duas equações, obtemos 1 e 0, logo é solução.
b) A solução geral é
X=lambda421 +1[3pt]tfrac130, lambdainR
c) A família Xh=lambda(4,2,1)^T satisfaz o sistema homogêneo correspondente.]