Exercício 1. Para guiar seu estudo, responda às perguntas abaixo sobre Matriz inversa e determinante.
Toda matriz é invertível? Exemplifique.
Toda matriz é invertível? Exemplifique.
Passo 1
O enunciado pergunta se toda matriz é invertível, ou seja, se para qualquer matriz
existe uma matriz
tal que
Para responder vamos rever a definição de inversibilidade de uma matriz quadrada e o teorema que relaciona isso ao valor do determinante.
Passo 2
Uma matriz quadrada
é dita invertível se existe
com
O teorema fundamental é:
Em outras palavras, o determinante mede se as linhas (ou colunas) de
são linearmente independentes.
Passo 3
Se
, as linhas (ou colunas) de
são linearmente dependentes e não existe matriz
que satisfaça
. Logo, sempre que
,
não é invertível.
Passo 4
Para exemplificar, considere a matriz
O determinante é
Como
det(A)=0 , concluímos que
A não possui inversa.
Resposta
Não. Nem toda matriz é invertível. Por exemplo
tem
det(A)=0 e, portanto, não é invertível.