Exercício 1. Para guiar seu estudo, responda às perguntas abaixo sobre Matriz inversa e determinante.
Toda matriz é invertível? Exemplifique.

Passo 1

O enunciado pergunta se toda matriz é invertível, ou seja, se para qualquer matriz A existe uma matriz A^-1 tal que
A,A^-1=A^-1A=I
Para responder vamos rever a definição de inversibilidade de uma matriz quadrada e o teorema que relaciona isso ao valor do determinante.

Passo 2

Uma matriz quadrada Ain Mn(R) é dita invertível se existe Bin Mn(R) com
A,B=B,A=In
O teorema fundamental é:
A é invertível Long<=ftrightarrow det(A)neq 0 éí
Em outras palavras, o determinante mede se as linhas (ou colunas) de A são linearmente independentes.

Passo 3

Se det(A)=0, as linhas (ou colunas) de A são linearmente dependentes e não existe matriz B que satisfaça A,B=I. Logo, sempre que det(A)=0, A não é invertível.

Passo 4

Para exemplificar, considere a matriz
A = 1 & 2 2 & 4
O determinante é
det(A) = 1cdot4 - 2cdot2 = 0
Como det(A)=0, concluímos que A não possui inversa.

Resposta

Não. Nem toda matriz é invertível. Por exemplo
A = 1 & 2 2 & 4
tem det(A)=0 e, portanto, não é invertível.

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