Considere o sistema linear .
a) Possivel e determinado
b) Possível e indeterminado
c) Impossível
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um sistema de equações lineares com três equações e três incógnitas:
x + y - z = 3 x - alpha y + z = -3 2x + z = alpha
Nosso objetivo é encontrar os valores de alpha que tornam esse sistema:
a) Possível e determinado
b) Possível e indeterminado
c) Impossível
Para resolver isso, vamos usar a Regra de Cramer e analisar o determinante da matriz dos coeficientes. Se o determinante for diferente de zero, o sistema é possível e determinado. Se for zero, precisamos verificar se é possível e indeterminado ou impossível.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes e calcular o seu determinante. A matriz dos coeficientes A é:
A = 1 & 1 & -1 1 & -alpha & 1 2 & 0 & 1
O determinante de A, denotado por |A|, é calculado assim:
Agora, vamos analisar o determinante |A| = -3alpha + 1:
Se |A| neq 0: O sistema tem uma única solução, ou seja, é possível e determinado.
Se |A| = 0: O sistema pode ser possível e indeterminado ou impossível, dependendo das equações.
Vamos resolver |A| = 0:
-3alpha + 1 = 0 Rightarrow alpha = 13
Então, para alpha = 13, o determinante é zero.
Passo 4
Para [\alpha = \frac{1}{3}), vamos verificar a consistência do sistema. Substituindo por nas equações:
Podemos resolver esse sistema para ver se há solução ou não.
Vamos resolver as duas primeiras equações:
Subtraindo a segunda equação da primeira:
Multiplicando por 3 para eliminar frações:
Agora, da terceira equação:
Substituindo na equação :
Simplificando:
Agora, temos:
Isso indica que temos infinitas soluções, pois podemos escolher um valor para e . Portanto, o sistema é possível e indeterminado para .
Resposta
a) O sistema é possível e determinado para todo alpha neq 13.
b) O sistema é possível e indeterminado quando alpha = 13.
c) Não há valores de alpha que tornem o sistema impossível.