Resolva, quando possível, os seguintes sistemas de equações:
cx1+2 x2+x3-5 x4=2 x1-x2+4 x3+2 x4=0 3 x1+3 x2+6 x3-8 x4=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! O que temos aqui são três equações lineares com quatro variáveis ( x1, x2, x3, x4). Nosso objetivo é encontrar valores para essas variáveis que satisfaçam todas as equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar a eliminação de Gauss, que é uma técnica bacana para simplificar sistemas e encontrar suas soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma mais clara:
x1 + 2x2 + x3 - 5x4 = 2 x1 - x2 + 4x3 + 2x4 = 0 3x1 + 3x2 + 6x3 - 8x4 = 3

Passo 3

Vamos montar a matriz aumentada desse sistema, que combina os coeficientes das variáveis com os termos constantes:
1 & 2 & 1 & -5 & | & 2 1 & -1 & 4 & 2 & | & 0 3 & 3 & 6 & -8 & | & 3

Passo 4

Nosso próximo passo é eliminar x1 das segunda e terceira equações para facilitar a resolução. Vamos fazer isso subtraindo a primeira linha da segunda e multiplicando a primeira linha por 3 e subtraindo da terceira.
Primeiro, subtraindo a primeira linha da segunda:
(1 - 1) & : 0 (-1 - 2) & : -3 (4 - 1) & : 3 (2 - (-5)) & : 7 (0 - 2) & : -2
Então, a segunda equação fica:
-3x2 + 3x3 + 7x4 = -2
Agora, multiplicamos a primeira linha por 3 e subtraímos da terceira linha:
3 - 3 & : 0 3 - 6 & : -3 6 - 3 & : 3 -8 - (-15) & : 7 3 - 6 & : -3
Então, a terceira equação fica:
-3x2 + 3x3 + 7x4 = -3

Passo 5

Agora, observamos que a nova segunda e terceira equações são:
-3x2 + 3x3 + 7x4 = -2 -3x2 + 3x3 + 7x4 = -3
Percebemos que elas são equivalentes, exceto pelos termos constantes. Isso significa que o sistema é inconsistente se essas equações contradizem-se, ou seja, não há solução única para todas as variáveis. No entanto, como temos mais variáveis do que equações, podemos expressar algumas variáveis em termos de outras.

Passo 6

Vamos assumir que x4 seja um parâmetro livre, ou seja, uma variável que pode assumir qualquer valor real. Chamaremos x4 = t.
Agora, vamos voltar à segunda equação original para expressar x2 e x3 em termos de t.
Usando a segunda equação simplificada:
-3x2 + 3x3 + 7t = -2
Podemos simplificar dividindo tudo por 3:
-x2 + x3 + 73t = -23
Resolvendo para x3:
x3 = x2 - 73t - 23

Passo 7

Agora, vamos substituir x3 na primeira equação original para encontrar x1 em termos de x2 e t:
x1 + 2x2 + (x2 - 73t - 23) - 5t = 2
Simplificando:
x1 + 3x2 - 73t - 23 - 5t = 2
Combinar os termos de t:
x1 + 3x2 - (73 + 5)t - 23 = 2
x1 + 3x2 - 223t = 83
Resolvendo para x1:
x1 = -3x2 + 223t + 83

Passo 8

Agora, temos x1 e x3 em termos de x2 e t. Podemos escolher x2 como outro parâmetro livre. Vamos chamar x2 = s.
Então, temos:
x1 = -3s + 223t + 83 x2 = s x3 = s - 73t - 23 x4 = t

Resposta

As soluções do sistema são dadas por:
x1 = -3s + dfrac223t + dfrac83 x2 = s x3 = s - dfrac73t - dfrac23 x4 = t
Onde s e t são números reais quaisquer. Ou seja, o sistema possui infinitas soluções parametrizadas por s e t.

Exercícios relacionados