Encontre os autovalores e os autovetores da matriz para o caso em que m1=m2=40 kg e k1=k2=k3=200 N / m. Mostre sua resolução em detalhes
(a) [cc-40 omega^2+400 & -200 -200 & -40 omega^2+400]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente precisa fazer aqui é encontrar os autovalores e os autovetores da matriz dada. Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente sobre decomposição de matrizes. Pra resolver, vamos precisar entender o que são autovalores e autovetores, e como encontrá-los através do cálculo do determinante e resolução de equações características.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são autovalores e autovetores. Dada uma matriz A , um autovalor lambda é um número tal que existe um vetor não nulo v (chamado de autovetor) que satisfaz a equação:
A v = lambda v
Para encontrar os autovalores, a gente precisa resolver a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Onde I é a matriz identidade do mesmo tamanho que A , e det representa o determinante.

Passo 3

Vamos aplicar isso à matriz que temos:
A = -40 omega^2 + 400 & -200 -200 & -40 omega^2 + 400
Primeiro, vamos escrever A - lambda I :
A - lambda I = -40 omega^2 + 400 - lambda & -200 -200 & -40 omega^2 + 400 - lambda

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante de A - lambda I :
det(A - lambda I) = (-40 omega^2 + 400 - lambda) cdot (-40 omega^2 + 400 - lambda) - (-200) cdot (-200)
Simplificando:
det(A - lambda I) = (-40 omega^2 + 400 - lambda)^2 - 200^2

Passo 5

Expandindo a expressão:
(-40 omega^2 + 400 - lambda)^2 = (-40 omega^2 + 400)^2 - 2 (-40 omega^2 + 400) lambda + lambda^2
Calculando:
(-40 omega^2 + 400)^2 = (40 omega^2 - 400)^2 = 1600 omega^4 - 32000 omega^2 + 160000
E:
-2(-40 omega^2 + 400)lambda = 2(40 omega^2 - 400)lambda = 80 omega^2 lambda - 800 lambda
Então:
(-40 omega^2 + 400 - lambda)^2 = 1600 omega^4 - 32000 omega^2 + 160000 + 80 omega^2 lambda - 800 lambda + lambda^2
Subtraindo 200^2 = 40000 :
det(A - lambda I) = 1600 omega^4 - 32000 omega^2 + 160000 + 80 omega^2 lambda - 800 lambda + lambda^2 - 40000
Simplificando:
det(A - lambda I) = 1600 omega^4 - 32000 omega^2 + 120000 + 80 omega^2 lambda - 800 lambda + lambda^2

Passo 6

Para encontrar os autovalores, precisamos resolver a equação det(A - lambda I) = 0 :
1600 omega^4 - 32000 omega^2 + 120000 + 80 omega^2 lambda - 800 lambda + lambda^2 = 0
Essa é uma equação quadrática em lambda . Vamos organizá-la:
lambda^2 + (80 omega^2 - 800) lambda + (1600 omega^4 - 32000 omega^2 + 120000) = 0

Passo 7

Agora, vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = -b pm raizb^2 - 4ac 2a
Onde:
  • a = 1
  • b = 80 omega^2 - 800
  • c = 1600 omega^4 - 32000 omega^2 + 120000
Calculando o discriminante De<a :
De<a = b^2 - 4ac = (80 omega^2 - 800)^2 - 4 cdot 1 cdot (1600 omega^4 - 32000 omega^2 + 120000)

Passo 8

Vamos calcular cada parte:
Primeiro, (80 omega^2 - 800)^2 :
= 80^2 omega^4 - 2 cdot 80 cdot 800 omega^2 + 800^2 = 6400 omega^4 - 128000 omega^2 + 640000
Segundo, 4ac = 4 cdot (1600 omega^4 - 32000 omega^2 + 120000) = 6400 omega^4 - 128000 omega^2 + 480000
Então:
De<a = (6400 omega^4 - 128000 omega^2 + 640000) - (6400 omega^4 - 128000 omega^2 + 480000) = 160000

Passo 9

Com o discriminante De<a = 160000 , que é positivo, temos duas soluções reais distintas:
lambda = -b pm raizDe<a 2a = - (80 omega^2 - 800) pm raiz160000 2
Simplificando:
lambda = -80 omega^2 + 800 pm 400 2

Passo 10

Agora, vamos separar as duas soluções:
  1. Com o sinal de + :
lambda1 = -80 omega^2 + 800 + 400 2 = -80 omega^2 + 1200 2 = -40 omega^2 + 600
  1. Com o sinal de - :
lambda2 = -80 omega^2 + 800 - 400 2 = -80 omega^2 + 400 2 = -40 omega^2 + 200

Passo 11

Então, os autovalores são:
lambda1 = -40 omega^2 + 600 e lambda2 = -40 omega^2 + 200

Passo 12

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes. Para cada lambda , resolvemos a equação (A - lambda I)v = 0 .
Vamos começar com lambda1 = -40 omega^2 + 600 :
A - lambda1 I = -40 omega^2 + 400 - (-40 omega^2 + 600) & -200 -200 & -40 omega^2 + 400 - (-40 omega^2 + 600) = -40 omega^2 + 400 + 40 omega^2 - 600 & -200 -200 & -40 omega^2 + 400 + 40 omega^2 - 600 = -200 & -200 -200 & -200

Passo 13

Resolvendo (A - lambda1 I)v = 0 :
-200 & -200 -200 & -200 v1 v2 = 0 0
Isso resulta nas equações:
-200 v1 - 200 v2 = 0 -200 v1 - 200 v2 = 0
Essas duas equações são redundantes, então podemos simplificar:
v1 + v2 = 0 implies v1 = -v2

Passo 14

Podemos escolher v2 = 1 , então v1 = -1 . Portanto, um autovetor correspondente a lambda1 é:
v1 = -1 1

Passo 15

Agora, vamos encontrar o autovetor para lambda2 = -40 omega^2 + 200 :
A - lambda2 I = -40 omega^2 + 400 - (-40 omega^2 + 200) & -200 -200 & -40 omega^2 + 400 - (-40 omega^2 + 200) = -40 omega^2 + 400 + 40 omega^2 - 200 & -200 -200 & -40 omega^2 + 400 + 40 omega^2 - 200 = 200 & -200 -200 & 200

Passo 16

Resolvendo (A - lambda2 I)v = 0 :
200 & -200 -200 & 200 v1 v2 = 0 0
Isso resulta nas equações:
200 v1 - 200 v2 = 0 -200 v1 + 200 v2 = 0
Novamente, as duas equações são iguais, então podemos simplificar:
v1 - v2 = 0 implies v1 = v2

Passo 17

Podemos escolher v2 = 1 , então v1 = 1 . Portanto, um autovetor correspondente a lambda2 é:
v2 = 1 1

Resposta

Os autovalores da matriz são:
lambda1 = -40 omega^2 + 600 e lambda2 = -40 omega^2 + 200
E os respectivos autovetores são:
v1 = -1 1 e v2 = 1 1

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