Determinar o valor de k para que o sistema
l x+2 y+k z=1 2 x+k y+8 z=3
tenha:
(a) solução única

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com duas equações e três incógnitas , dependendo do parâmetro , e pede os valores de para que haja solução única. Para isso vamos usar o Teorema de Rouché-Frobenius, que relaciona o posto () da matriz de coeficientes com o número de incógnitas e com o posto da matriz aumentada.

Passo 2

Montamos a matriz de coeficientes e a matriz aumentada:
A = 1 & 2 & k 2 & k & 8 ,
[A!mid!b] = 1 & 2 & k & 1 2 & k & 8 & 3
Aqui A é 2times3, logo seu posto máximo é 2.

Passo 3

Pelo Teorema de Rouché-Frobenius, o sistema tem solução única se, e somente se,
Mas como para todo valor de , não há como atingir .

Passo 4

Como nunca conseguimos , conclui-se que não existe valor de que torne o sistema com solução única.

Resposta

Não há valor de k que faça o sistema ter solução única.

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