Questão 14 - Calcule a área delimitada pelas curvas y=x, y=-x+1, x=0 e x=2.

Passo 1

O enunciado pede: Calcular a área delimitada pelas curvas y=x, y=-x+1, x=0 e x=2.
Informações dadas:
  • As curvas são as retas y=x e y=-x+1.
  • As restrições verticais são as retas x=0 e x=2.
  • A região buscada é a região fechada que fica entre essas quatro curvas.

Passo 2

Ideia geral (fórmula que usamos): a área entre duas curvas, numa orientação vertical (integrando em x), é dada por
\text{Área}=\int_{a}^{b} \big(\text{função superior} - \text{função inferior}\big)\,dx.Áçãçã
Explicando devagar: aqui a e b são os extremos em x do pedaço onde uma função permanece por cima da outra. A “função superior” é a que tem maior valor de y naquele intervalo; a “funcão inferior” é a que tem menor valor de y. Vamos aplicar isso, mas primeiro precisamos saber onde as duas retas se cruzam (porque a função superior pode mudar).

Passo 3

Encontrar a interseção entre y=x e y=-x+1. Igualamos as expressões de y:
x = -x + 1.
Somando x dos dois lados:
2x = 1.
Logo
x = \frac{1}{2}.
O ponto de interseção tem coordenada x=\frac{1}{2} e y=\frac{1}{2} (substituindo em y=x). Isso divide o intervalo x\in[0,2] em dois subintervalos: [0,\tfrac{1}{2}] e [\tfrac{1}{2},2], e em cada um deles a reta superior é diferente.

Passo 4

Determinar qual reta é superior em cada subintervalo, avaliando um ponto de teste:
  • Em x=0: y=x=0 e y=-x+1=1. Portanto, em [0,\tfrac{1}{2}] a função superior é y=-x+1 e a inferior é y=x.
  • Em x=1 (que pertence a [\tfrac{1}{2},2]): y=x=1 e y=-x+1=0. Portanto, em [\tfrac{1}{2},2] a função superior é y=x e a inferior é y=-x+1.

Passo 5

Escrever a área como soma de integrais nos dois subintervalos:
\text{Área}=\int_{0}^{\frac{1}{2}} \big((-x+1) - x\big)\,dx \;+\; \int_{\frac{1}{2}}^{2} \big(x - (-x+1)\big)\,dx.Á
Simplificando os integrandos:
\text{Área}=\int_{0}^{\frac{1}{2}} \big(-2x + 1\big)\,dx \;+\; \int_{\frac{1}{2}}^{2} \big(2x - 1\big)\,dx.Á

Passo 6

Calcular a primeira integral detalhadamente:
\int \big(-2x+1\big)\,dx = -x^2 + x + C,
portanto
\int_{0}^{\frac{1}{2}} \big(-2x+1\big)\,dx = \big[-x^2 + x\big]_{0}^{\frac{1}{2}}.
Avaliaremos nos extremos:
\big(-\big(\tfrac{1}{2}\big)^2 + \tfrac{1}{2}\big) - \big(-0^2 + 0\big) = \big(-\tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{2}\big) - 0 = \tfrac{1}{4}.

Passo 7

Calcular a segunda integral detalhadamente:
\int \big(2x-1\big)\,dx = x^2 - x + C,
logo
\int_{\frac{1}{2}}^{2} \big(2x-1\big)\,dx = \big[x^2 - x\big]_{\frac{1}{2}}^{2}.
Avaliação:
\big(2^2 - 2\big) - \big(\big(\tfrac{1}{2}\big)^2 - \tfrac{1}{2}\big) = (4-2) - \big(\tfrac{1}{4} - \tfrac{1}{2}\big) = 2 - \big(-\tfrac{1}{4}\big) = 2 + \tfrac{1}{4} = \tfrac{9}{4}.

Passo 8

Somar as duas parcelas obtidas:
\text{Área} = \tfrac{1}{4} + \tfrac{9}{4} = \tfrac{10}{4} = \tfrac{5}{2}.Á
Pequena checagem geométrica intuitiva: na segunda parte a diferença 2x-1 varia linearmente de 0 (em x=\tfrac{1}{2}) até 3 (em x=2), com base 2-\tfrac{1}{2}=\tfrac{3}{2}; a área dessa “fatia” é a área de um triângulo com base \tfrac{3}{2} e altura 3, ou seja \tfrac{1}{2}\cdot\tfrac{3}{2}\cdot 3=\tfrac{9}{4}, que coincide com a integral calculada. A primeira parte é um triângulo pequeno de área \tfrac{1}{4}. Soma = \tfrac{5}{2}.

Resposta

\dfrac{5}{2}

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