Questão 14 - Calcule a área delimitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede: Calcular a área delimitada pelas curvas
,
,
e
.
Informações dadas:
- As curvas são as retas
e . - As restrições verticais são as retas
e . - A região buscada é a região fechada que fica entre essas quatro curvas.
Passo 2
Ideia geral (fórmula que usamos): a área entre duas curvas, numa orientação vertical (integrando em
), é dada por
Explicando devagar: aqui
e
são os extremos em
do pedaço onde uma função permanece por cima da outra. A “função superior” é a que tem maior valor de
naquele intervalo; a “funcão inferior” é a que tem menor valor de
. Vamos aplicar isso, mas primeiro precisamos saber onde as duas retas se cruzam (porque a função superior pode mudar).
Passo 3
Encontrar a interseção entre
e
. Igualamos as expressões de
:
Somando
dos dois lados:
Logo
O ponto de interseção tem coordenada
e
(substituindo em
). Isso divide o intervalo
em dois subintervalos:
e
, e em cada um deles a reta superior é diferente.
Passo 4
Determinar qual reta é superior em cada subintervalo, avaliando um ponto de teste:
- Em
: e . Portanto, em a função superior é e a inferior é . - Em
(que pertence a ): e . Portanto, em a função superior é e a inferior é .
Passo 5
Escrever a área como soma de integrais nos dois subintervalos:
Simplificando os integrandos:
Passo 6
Calcular a primeira integral detalhadamente:
portanto
Avaliaremos nos extremos:
Passo 7
Calcular a segunda integral detalhadamente:
logo
Avaliação:
Passo 8
Somar as duas parcelas obtidas:
Pequena checagem geométrica intuitiva: na segunda parte a diferença
varia linearmente de
(em
) até
(em
), com base
; a área dessa “fatia” é a área de um triângulo com base
e altura
, ou seja
, que coincide com a integral calculada. A primeira parte é um triângulo pequeno de área
. Soma =
.