Considere o sistema linear da questão anterior. Dada a aproximação inicial x^{(0)}=(1,-1,2)^{T}, use o método de Gauss-Seidel, para encontrar as aproximações sucessivas x^{(1)} e x^{(2)}.

Passo 1

O enunciado pede para usar o método de Gauss–Seidel, a partir da aproximação inicial \(x^{(0)}=(1,-1,2)^{T}), para encontrar as aproximações sucessivas \(x^{(1)}) e \(x^{(2)}).
Informações explicitamente fornecidas: a aproximação inicial \(x^{(0)}=(1,-1,2)^{T}).
Informação necessária que falta: o sistema linear (ou seja, a matriz \(A) e o vetor \(b) do sistema \(A x = b)). Sem \(A) e \(b) não é possível calcular numericamente \(x^{(1)}) e \(x^{(2)}).

Passo 2

O que é o método de Gauss–Seidel (explicação didática e intuitiva):
  • Queremos resolver o sistema \(A x = b), onde \(A) é uma matriz quadrada n\times n, \(x) é o vetor incógnita de dimensão n, e \(b) é o vetor do lado direito.
  • O método constrói uma sequência de aproximações \(x^{(k)}) que, se convergir, tende à solução exata. A cada iteração usamos as componentes já atualizadas dentro da mesma iteração — por isso Gauss–Seidel costuma convergir mais rápido que Jacobi.
  • Técnica: escrevemos cada equação isolando a incógnita da diagonal. Para a i-ésima equação:
a_{ii} x_i + \sum_{j\ne i} a_{ij} x_j = b_i,
de onde isolamos
x_i = \frac{1}{a_{ii}}\Big(b_i - \sum_{j\ne i} a_{ij} x_j\Big).
  • No Gauss–Seidel, ao computar a nova \(x_i^{(k+1)}) usamos as componentes mais recentes: as \(x_j^{(k+1)}) já calculadas para j<i e as antigas \(x_j^{(k)}) para j>i.

Passo 3

Fórmula prática (componente a componente) para aplicação em uma matriz 3\times3: suponha
A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[2pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[2pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix},\qquad b = \begin{pmatrix} b_1\\\ b_2\\\ b_3\end{pmatrix},
e aproximação inicial \(x^{(0)}=(x_1^{(0)},x_2^{(0)},x_3^{(0)})^{T}). As atualizações Gauss–Seidel para a iteração k\to k+1 são:
x_1^{(k+1)} = \frac{1}{a_{11}}\Big(b_1 - a_{12}x_2^{(k)} - a_{13}x_3^{(k)}\Big),
x_2^{(k+1)} = \frac{1}{a_{22}}\Big(b_2 - a_{21}x_1^{(k+1)} - a_{23}x_3^{(k)}\Big),
x_3^{(k+1)} = \frac{1}{a_{33}}\Big(b_3 - a_{31}x_1^{(k+1)} - a_{32}x_2^{(k+1)}\Big).
Explicando cada termo: em x_2^{(k+1)} usamos x_1^{(k+1)} (a nova) porque já foi calculada na mesma iteração; em x_3^{(k+1)} usamos as novas x_1^{(k+1)} e x_2^{(k+1)}.]

Passo 4

Como calcular \(x^{(1)}) e \(x^{(2)}) a partir da \(x^{(0)}) dada (procedimento passo a passo, simbólico):
  • Para obter \(x^{(1)}) (use k=0 nas fórmulas acima, e substitua \(x^{(0)}) onde for necessário):
x_1^{(1)} = \frac{1}{a_{11}}\Big(b_1 - a_{12}\,(x_2^{(0)}) - a_{13}\,(x_3^{(0)})\Big).
Depois compute
x_2^{(1)} = \frac{1}{a_{22}}\Big(b_2 - a_{21}\,x_1^{(1)} - a_{23}\,(x_3^{(0)})\Big).
Depois compute
x_3^{(1)} = \frac{1}{a_{33}}\Big(b_3 - a_{31}\,x_1^{(1)} - a_{32}\,x_2^{(1)}\Big).
  • Para obter \(x^{(2)}) repita usando \(x^{(1)}) e \(x^{(0)}) conforme as fórmulas (agora k=1):
x_1^{(2)} = \frac{1}{a_{11}}\Big(b_1 - a_{12}\,(x_2^{(1)}) - a_{13}\,(x_3^{(1)})\Big),
x_2^{(2)} = \frac{1}{a_{22}}\Big(b_2 - a_{21}\,x_1^{(2)} - a_{23}\,x_3^{(1)}\Big),
x_3^{(2)} = \frac{1}{a_{33}}\Big(b_3 - a_{31}\,x_1^{(2)} - a_{32}\,x_2^{(2)}\Big).
  • Observação prática: para números pequenos você faz isso à mão facilmente; mantenha ordem e substitua passo a passo. É exatamente esse cálculo que eu faria para sua questão — só preciso de \(a_{ij}) e \(b_i).

Passo 5

Condições de convergência e dicas rápidas (úteis na prova):
  • Uma condição simples suficiente para convergência é que \(A) seja estritamente diagonalmente dominante por linhas, ou seja, para todo i:
|a_{ii}| > \sum_{j\ne i} |a_{ij}|.
  • Outra condição suficiente é que \(A) seja simétrica definida positiva.
  • Dica prática na prova: verifique se \(a_{ii}\neq 0) para todas as diagonais; isole sempre a incógnita da diagonal; calcule numa ordem clara ( x_1, depois x_2, depois x_3); e mantenha pelo menos 3–4 casas durante as contas até a resposta final para evitar erro de arredondamento.

Passo 6

Exemplo numérico ilustrativo (não é o seu sistema — é para mostrar a mecânica): considere o sistema
\begin{cases} 4x_1 - x_2 + 0x_3 = 7,\\[2pt] -1x_1 + 3x_2 -1x_3 = -8,\\[2pt] 0x_1 -1x_2 + 5x_3 = 6, \end{cases}
com \(x^{(0)}=(1,-1,2)^{T}) (mesma \(x^{(0)}) que você deu). Então:
  • Calculamos \(x_1^{(1)}):
x_1^{(1)}=\frac{1}{4}\big(7 - (-1)\cdot(-1) - 0\cdot 2\big)=\frac{1}{4}(7-1)=\frac{6}{4}=1{,}5.
  • Calculamos \(x_2^{(1)}):
x_2^{(1)}=\frac{1}{3}\big(-8 - (-1)\cdot 1{,}5 - (-1)\cdot 2\big)=\frac{1}{3}(-8 +1{,}5 +2)=\frac{1}{3}(-4{,}5)=-1{,}5.
  • Calculamos \(x_3^{(1)}):
x_3^{(1)}=\frac{1}{5}\big(6 - 0\cdot 1{,}5 - (-1)\cdot(-1{,}5)\big)=\frac{1}{5}(6 -1{,}5)=\frac{4{,}5}{5}=0{,}9.
Assim \(x^{(1)}\approx(1{,}5,-1{,}5,0{,}9)^{T}). Repetindo para obter \(x^{(2)}) usaríamos essas componentes em fórmulas análogas. Este exemplo mostra passo a passo como proceder.]

Passo 7

Conclusão e próximo passo: para dar as aproximações numéricas pedidas na sua questão eu preciso dos coeficientes do sistema (a matriz \(A) e o vetor \(b)). Se você colar aqui o sistema (as três equações ou a matriz e o vetor), eu executo imediatamente as iterações e te mostro \(x^{(1)}) e \(x^{(2)}) com todo detalhe e explicação.

Resposta

Não é possível calcular \(x^{(1)}) e \(x^{(2)}) porque o sistema linear (matriz \(A) e vetor \(b)) não foi fornecido.

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