Considere o sistema linear da questão anterior. Dada a aproximação inicial x^{(0)}=(1,-1,2)^{T}, use o método de Gauss-Seidel, para encontrar as aproximações sucessivas x^{(1)} e x^{(2)}.
Passo 1
O enunciado pede para usar o método de Gauss–Seidel, a partir da aproximação inicial \(x^{(0)}=(1,-1,2)^{T}), para encontrar as aproximações sucessivas \(x^{(1)}) e \(x^{(2)}).
Informações explicitamente fornecidas: a aproximação inicial \(x^{(0)}=(1,-1,2)^{T}).
Informação necessária que falta: o sistema linear (ou seja, a matriz \(A) e o vetor \(b) do sistema \(A x = b)). Sem \(A) e \(b) não é possível calcular numericamente \(x^{(1)}) e \(x^{(2)}).
Passo 2
O que é o método de Gauss–Seidel (explicação didática e intuitiva):
Queremos resolver o sistema \(A x = b), onde \(A) é uma matriz quadrada n\times n, \(x) é o vetor incógnita de dimensão n, e \(b) é o vetor do lado direito.
O método constrói uma sequência de aproximações \(x^{(k)}) que, se convergir, tende à solução exata. A cada iteração usamos as componentes já atualizadas dentro da mesma iteração — por isso Gauss–Seidel costuma convergir mais rápido que Jacobi.
Técnica: escrevemos cada equação isolando a incógnita da diagonal. Para a i-ésima equação:
No Gauss–Seidel, ao computar a nova \(x_i^{(k+1)}) usamos as componentes mais recentes: as \(x_j^{(k+1)}) já calculadas para j<i e as antigas \(x_j^{(k)}) para j>i.
Passo 3
Fórmula prática (componente a componente) para aplicação em uma matriz 3\times3: suponha
Explicando cada termo: em x_2^{(k+1)} usamos x_1^{(k+1)} (a nova) porque já foi calculada na mesma iteração; em x_3^{(k+1)} usamos as novas x_1^{(k+1)} e x_2^{(k+1)}.]
Passo 4
Como calcular \(x^{(1)}) e \(x^{(2)}) a partir da \(x^{(0)}) dada (procedimento passo a passo, simbólico):
Para obter \(x^{(1)}) (use k=0 nas fórmulas acima, e substitua \(x^{(0)}) onde for necessário):
Observação prática: para números pequenos você faz isso à mão facilmente; mantenha ordem e substitua passo a passo. É exatamente esse cálculo que eu faria para sua questão — só preciso de \(a_{ij}) e \(b_i).
Passo 5
Condições de convergência e dicas rápidas (úteis na prova):
Uma condição simples suficiente para convergência é que \(A) seja estritamente diagonalmente dominante por linhas, ou seja, para todo i:
|a_{ii}| > \sum_{j\ne i} |a_{ij}|.
Outra condição suficiente é que \(A) seja simétrica definida positiva.
Dica prática na prova: verifique se \(a_{ii}\neq 0) para todas as diagonais; isole sempre a incógnita da diagonal; calcule numa ordem clara (x_1, depois x_2, depois x_3); e mantenha pelo menos 3–4 casas durante as contas até a resposta final para evitar erro de arredondamento.
Passo 6
Exemplo numérico ilustrativo (não é o seu sistema — é para mostrar a mecânica): considere o sistema
Assim \(x^{(1)}\approx(1{,}5,-1{,}5,0{,}9)^{T}). Repetindo para obter \(x^{(2)}) usaríamos essas componentes em fórmulas análogas. Este exemplo mostra passo a passo como proceder.]
Passo 7
Conclusão e próximo passo: para dar as aproximações numéricas pedidas na sua questão eu preciso dos coeficientes do sistema (a matriz \(A) e o vetor \(b)). Se você colar aqui o sistema (as três equações ou a matriz e o vetor), eu executo imediatamente as iterações e te mostro \(x^{(1)}) e \(x^{(2)}) com todo detalhe e explicação.
Resposta
Não é possível calcular \(x^{(1)}) e \(x^{(2)}) porque o sistema linear (matriz \(A) e vetor \(b)) não foi fornecido.