e pede duas coisas: (1) o polinômio característico de A e (2) os autovalores (raízes desse polinômio). As informações relevantes que temos são todos os elementos da matriz A indicados acima. A resolução começará no próximo passo.
Passo 2
Vou usar o método de Leverrier–Faddeev. Primeiro explico a ideia e as fórmulas, devagar e sem pular etapas.
Definições e notação:
Seja n a ordem da matriz (aqui n=3).
Tomamos B_0=I (a matriz identidade 3\times3).
Para k=1,2,\dots,n definimosc_k=\frac{1}{k}\operatorname{tr}(A B_{k-1}),eB_k = A B_{k-1} - c_k I.
O polinômio característico (com a convenção que uso aqui) ép(\lambda)=\lambda^n - c_1\lambda^{n-1} - c_2\lambda^{n-2} - \cdots - c_n.
O que isso significa em palavras: em cada passo computamos a traça de A vezes a matriz construída no passo anterior, dividimos por k para obter c_k, e ajustamos B_k. No final os coeficientes c_k entram diretamente no polinômio característico. Essa fórmula foi construída para garantir que p(A)=0 (identidade de Cayley–Hamilton) e produz os coeficientes corretos.