Encontre o polinômio característico e os autovalores da matriz
A=\left(\begin{array}{ccc} 105 & -10 & -64 \\\\ 144 & -13 & -88 \\\\ 146 & -14 & -89 \end{array}\right)
usando o método de Leverrier-Faddeev.

Passo 1

O enunciado fornece a matriz
A=\left(\begin{array}{ccc} 105 & -10 & -64 \\\\ 144 & -13 & -88 \\\\ 146 & -14 & -89 \end{array}\right)
e pede duas coisas: (1) o polinômio característico de A e (2) os autovalores (raízes desse polinômio). As informações relevantes que temos são todos os elementos da matriz A indicados acima. A resolução começará no próximo passo.

Passo 2

Vou usar o método de Leverrier–Faddeev. Primeiro explico a ideia e as fórmulas, devagar e sem pular etapas.
  • Definições e notação:
    • Seja n a ordem da matriz (aqui n=3).
    • Tomamos B_0=I (a matriz identidade 3\times3).
    • Para k=1,2,\dots,n definimos c_k=\frac{1}{k}\operatorname{tr}(A B_{k-1}),e B_k = A B_{k-1} - c_k I.
    • O polinômio característico (com a convenção que uso aqui) é p(\lambda)=\lambda^n - c_1\lambda^{n-1} - c_2\lambda^{n-2} - \cdots - c_n.
  • O que isso significa em palavras: em cada passo computamos a traça de A vezes a matriz construída no passo anterior, dividimos por k para obter c_k, e ajustamos B_k. No final os coeficientes c_k entram diretamente no polinômio característico. Essa fórmula foi construída para garantir que p(A)=0 (identidade de Cayley–Hamilton) e produz os coeficientes corretos.
Agora aplico o algoritmo passo a passo.

Passo 3

Começo com k=1.
  • Calculo de c_1:
    c_1=\frac{1}{1}\operatorname{tr}(A)=\operatorname{tr}(A).
    A traça é a soma dos elementos da diagonal:
    \operatorname{tr}(A)=105+(-13)+(-89)=105-13-89=3.
    Logo c_1=3.
  • Calculo de B_1:
    B_1 = A - c_1 I = A - 3I.
    Subtraindo 3 da diagonal, obtemos
    B_1=\left(\begin{array}{ccc} 102 & -10 & -64 \\\\ 144 & -16 & -88 \\\\ 146 & -14 & -92 \end{array}\right).

Passo 4

Agora k=2. Precisamos de c_2=\tfrac{1}{2}\operatorname{tr}(A B_1). Então calculo primeiro A B_1.
Faço as colunas de B_1 explicitamente para multiplicar:
\text{col}_1(B_1)=\begin{pmatrix}102\\\ 144\\\ 146\end{pmatrix},\quad \text{col}_2(B_1)=\begin{pmatrix}-10\\\ -16\\\ -14\end{pmatrix},\quad \text{col}_3(B_1)=\begin{pmatrix}-64\\\ -88\\\ -92\end{pmatrix}.
Multiplico A por cada coluna (produto linha por coluna), calculando todos os elementos para ficar claro:
  • Linha 1 de A é (105,\,-10,\,-64).
    • (A B_1)_{11}=105\cdot102+(-10)\cdot144+(-64)\cdot146=10710-1440-9344=-74.
    • (A B_1)_{12}=105\cdot(-10)+(-10)\cdot(-16)+(-64)\cdot(-14)=-1050+160+896=6.
    • (A B_1)_{13}=105\cdot(-64)+(-10)\cdot(-88)+(-64)\cdot(-92)=-6720+880+5888=48.
  • Linha 2 de A é (144,\,-13,\,-88).
    • (A B_1)_{21}=144\cdot102+(-13)\cdot144+(-88)\cdot146=14688-1872-12848=-32.
    • (A B_1)_{22}=144\cdot(-10)+(-13)\cdot(-16)+(-88)\cdot(-14)=-1440+208+1232=0.
    • (A B_1)_{23}=144\cdot(-64)+(-13)\cdot(-88)+(-88)\cdot(-92)=-9216+1144+8096=24.
  • Linha 3 de A é (146,\,-14,\,-89).
    • (A B_1)_{31}=146\cdot102+(-14)\cdot144+(-89)\cdot146=14892-2016-12994=-118.
    • (A B_1)_{32}=146\cdot(-10)+(-14)\cdot(-16)+(-89)\cdot(-14)=-1460+224+1246=10.
    • (A B_1)_{33}=146\cdot(-64)+(-14)\cdot(-88)+(-89)\cdot(-92)=-9344+1232+8188=76.
Reunindo:
A B_1=\left(\begin{array}{ccc} -74 & 6 & 48 \\\\ -32 & 0 & 24 \\\\ -118 & 10 & 76 \end{array}\right).
  • Agora a traça:
    \operatorname{tr}(A B_1) = -74 + 0 + 76 = 2.
    Assim
    c_2=\frac{1}{2}\operatorname{tr}(A B_1)=\frac{1}{2}\cdot 2 = 1.
  • E B_2 = A B_1 - c_2 I = A B_1 - I. Subtraindo 1 da diagonal de A B_1:
    B_2=\left(\begin{array}{ccc} -75 & 6 & 48 \\\\ -32 & -1 & 24 \\\\ -118 & 10 & 75 \end{array}\right).

Passo 5

Agora k=3. Precisamos de c_3=\tfrac{1}{3}\operatorname{tr}(A B_2). Vou calcular A B_2. Uso as colunas de B_2:
\text{col}_1(B_2)=\begin{pmatrix}-75\\\ -32\\\ -118\end{pmatrix},\quad \text{col}_2(B_2)=\begin{pmatrix}6\\\ -1\\\ 10\end{pmatrix},\quad \text{col}_3(B_2)=\begin{pmatrix}48\\\ 24\\\ 75\end{pmatrix}.
Calculo apenas os elementos da diagonal de A B_2 (basta para a traça), fazendo produto linha por coluna:
  • (A B_2)_{11}=105\cdot(-75)+(-10)\cdot(-32)+(-64)\cdot(-118)=-7875+320+7552=-3.
  • (A B_2)_{22}=144\cdot6+(-13)\cdot(-1)+(-88)\cdot10=864+13-880=-3.
  • (A B_2)_{33}=146\cdot48+(-14)\cdot24+(-89)\cdot75=7008-336-6675=-3.
Então
\operatorname{tr}(A B_2) = -3 + (-3) + (-3) = -9,
e
c_3=\frac{1}{3}\operatorname{tr}(A B_2)=\frac{1}{3}\cdot(-9)=-3.

Passo 6

Agora já tenho todos os coeficientes c_1,c_2,c_3:
c_1=3,\qquad c_2=1,\qquad c_3=-3.
Construo o polinômio característico pela fórmula
p(\lambda)=\lambda^3 - c_1\lambda^2 - c_2\lambda - c_3.
Substituindo os valores:
p(\lambda)=\lambda^3 - 3\lambda^2 - 1\lambda - (-3)=\lambda^3 - 3\lambda^2 - \lambda + 3.

Passo 7

Agora encontro as raízes de p(\lambda)=\lambda^3 - 3\lambda^2 - \lambda + 3.
  • Testo \lambda=3:
    p(3)=3^3-3\cdot3^2-3+3=27-27-3+3=0,
    portanto \lambda=3 é raiz.
  • Faço divisão polinomial por (\lambda-3) ou fatoração: dividindo obtém-se o quociente \lambda^2 -1. Assim
    p(\lambda)=(\lambda-3)(\lambda^2-1)=(\lambda-3)(\lambda-1)(\lambda+1).
  • Portanto os autovalores são \lambda=3,\;1,\;-1.
Como verificação rápida: a soma das raízes 3+1+(-1)=3 confere com \operatorname{tr}(A)=3; o produto 3\cdot1\cdot(-1)=-3 confere com \det(A)=-3.

Resposta

\displaystyle p(\lambda)=\lambda^{3}-3\lambda^{2}-\lambda+3
Autovalores: \displaystyle \lambda=3,\;1,\;-1

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