Considere o sistema linear
\left(\begin{array}{ccc} 4 & -1 & 2 \\\\ -1 & 5 & 3 \\\\ 1 & -1 & -3 \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \\\ x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} -3 \\\\ 1 \\\\ 2 \end{array}\right)
Dada a aproximação inicial x^{(0)}=(1,2,-1)^{T}, encontre as aproximações sucessivas x^{(1)}, x^{(2)} e x^{(3)} usando o método de Jacobi.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{pmatrix} 4 & -1 & 2\\[4pt] -1 & 5 & 3\\[4pt] 1 & -1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\[2pt]x_2\\[2pt]x_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\[2pt]1\\[2pt]2\end{pmatrix}
e a aproximação inicial
x^{(0)}=\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]-1\end{pmatrix}.
O que se pede: calcular as aproximações sucessivas x^{(1)},\,x^{(2)} e x^{(3)} usando o método de Jacobi, ou seja, aplicar três iterações do método a partir de x^{(0)}.]

Passo 2

Vamos aprender rapidamente a regra do método de Jacobi (passo-a-passo, sem pressa).
A ideia é isolar cada incógnita x_i na sua equação e calcular uma nova aproximação usando somente os valores antigos x^{(k)} (não usamos simultaneamente os valores atualizados nesta iteração). Para um sistema Ax=b com A=(a_{ij}), a fórmula geral do Jacobi é
x_i^{(k+1)}=\frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i-\sum_{j\neq i} a_{ij}\,x_j^{(k)}\Bigr),
onde:
  • x_i^{(k+1)} é a nova aproximação da i-ésima incógnita,
  • a_{ii} é o coeficiente da incógnita x_i na sua própria equação (precisa ser não nulo),
  • b_i é o termo independente da i-ésima equação,
  • a soma \sum_{j\neq i} a_{ij}x_j^{(k)} é feita usando as componentes da iteração anterior x^{(k)}.
    Essa fórmula vem de isolar x_i na i-ésima equação:
a_{ii}x_i = b_i - \sum_{j\neq i} a_{ij}x_j \quad\Rightarrow\quad x_i=\frac{1}{a_{ii}}\Bigl(b_i-\sum_{j\neq i} a_{ij}x_j\Bigr).

Passo 3

Aplicando a fórmula do Jacobi ao nosso sistema, escrevemos explicitamente as três atualizações (sempre usando os x^{(k)} antigos à direita):
x_1^{(k+1)}=\frac{1}{4}\bigl(-3 -(-1)x_2^{(k)} - 2x_3^{(k)}\bigr) =\frac{-3 + x_2^{(k)} - 2x_3^{(k)}}{4},
x_2^{(k+1)}=\frac{1}{5}\bigl(1 -(-1)x_1^{(k)} - 3x_3^{(k)}\bigr) =\frac{1 + x_1^{(k)} - 3x_3^{(k)}}{5},
x_3^{(k+1)}=\frac{1}{-3}\bigl(2 - 1\cdot x_1^{(k)} -(-1)x_2^{(k)}\bigr) =\frac{2 - x_1^{(k)} + x_2^{(k)}}{-3}.
Repare como obtivemos os sinais: usamos a_{1,2}=-1, a_{1,3}=2, etc., e substituímos na fórmula geral.

Passo 4

Agora calculamos x^{(1)} aplicando as fórmulas do passo anterior com x^{(0)}=(1,2,-1)^T.
Cálculo de x_1^{(1)}:
x_1^{(1)}=\frac{-3 + x_2^{(0)} - 2x_3^{(0)}}{4} =\frac{-3 + 2 - 2(-1)}{4} =\frac{-3+2+2}{4} =\frac{1}{4}=0{,}25.
Cálculo de x_2^{(1)}:
x_2^{(1)}=\frac{1 + x_1^{(0)} - 3x_3^{(0)}}{5} =\frac{1 + 1 -3(-1)}{5} =\frac{1+1+3}{5} =\frac{5}{5}=1.
Cálculo de x_3^{(1)}:
x_3^{(1)}=\frac{2 - x_1^{(0)} + x_2^{(0)}}{-3} =\frac{2 - 1 + 2}{-3} =\frac{3}{-3}=-1.
Portanto,
x^{(1)}=\begin{pmatrix}0{,}25\\[2pt]1\\[2pt]-1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Agora x^{(2)} usando x^{(1)}=(0{,}25,\,1,\,-1)^T.
Cálculo de x_1^{(2)}:
x_1^{(2)}=\frac{-3 + x_2^{(1)} - 2x_3^{(1)}}{4} =\frac{-3 + 1 - 2(-1)}{4} =\frac{-3+1+2}{4} =\frac{0}{4}=0.
Cálculo de x_2^{(2)}:
x_2^{(2)}=\frac{1 + x_1^{(1)} - 3x_3^{(1)}}{5} =\frac{1 + 0{,}25 - 3(-1)}{5} =\frac{1{,}25 + 3}{5} =\frac{4{,}25}{5}=0{,}85.
Observação: 0{,}85=\dfrac{17}{20}.
Cálculo de x_3^{(2)}:
x_3^{(2)}=\frac{2 - x_1^{(1)} + x_2^{(1)}}{-3} =\frac{2 - 0{,}25 + 1}{-3} =\frac{2{,}75}{-3}=-\frac{11}{12}\approx -0{,}9166667.
Portanto,
x^{(2)}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0{,}85\\[2pt]-\dfrac{11}{12}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Finalmente x^{(3)} usando x^{(2)}=\bigl(0,\,0{,}85,\,-\tfrac{11}{12}\bigr)^T.
Cálculo de x_1^{(3)}:
x_1^{(3)}=\frac{-3 + x_2^{(2)} - 2x_3^{(2)}}{4} =\frac{-3 + 0{,}85 - 2\bigl(-\tfrac{11}{12}\bigr)}{4}.
Calculemos o numerador com frações para mais exatidão:
0{,}85=\frac{17}{20},\qquad -2\Bigl(-\frac{11}{12}\Bigr)=\frac{11}{6}.
Colocando tudo em denom. comum 60:
-3 = -\frac{180}{60},\quad \frac{17}{20}=\frac{51}{60},\quad \frac{11}{6}=\frac{110}{60}.
Somando: -180+51+110=-19, logo numerador =-\dfrac{19}{60}.
Dividindo por 4:
x_1^{(3)}=-\frac{19}{60}\cdot\frac{1}{4}=-\frac{19}{240}\approx -0{,}0791667.
Cálculo de x_2^{(3)}:
x_2^{(3)}=\frac{1 + x_1^{(2)} - 3x_3^{(2)}}{5} =\frac{1 + 0 - 3\bigl(-\tfrac{11}{12}\bigr)}{5} =\frac{1 + \tfrac{33}{12}}{5} =\frac{1 + 2{,}75}{5} =\frac{3{,}75}{5}=0{,}75.
Como fração isso é \dfrac{3}{4}.
Cálculo de x_3^{(3)}:
x_3^{(3)}=\frac{2 - x_1^{(2)} + x_2^{(2)}}{-3} =\frac{2 - 0 + 0{,}85}{-3} =\frac{2{,}85}{-3}=-0{,}95.
Como fração: 2{,}85=\dfrac{57}{20}, dividindo por -3 obtemos -\dfrac{57}{60}=-\dfrac{19}{20}.
Portanto,
x^{(3)}=\begin{pmatrix}-\dfrac{19}{240}\\[6pt]\dfrac{3}{4}\\[6pt]-\dfrac{19}{20}\end{pmatrix} \approx\begin{pmatrix}-0{,}0791667\\[2pt]0{,}75\\[2pt]-0{,}95\end{pmatrix}.]

Resposta

x^{(1)}=\begin{pmatrix}0{,}25\\[2pt]1\\[2pt]-1\end{pmatrix}
x^{(2)}=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0{,}85\\[2pt]-\dfrac{11}{12}\end{pmatrix}
x^{(3)}=\begin{pmatrix}-\dfrac{19}{240}\\[6pt]\dfrac{3}{4}\\[6pt]-\dfrac{19}{20}\end{pmatrix}]

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