\left|\begin{array}{ccc}4 & 6 & x \\\\ 5 & 2 & -x \\\\ 7 & 4 & 2 x\end{array}\right|=128

Passo 1

O enunciado dá a seguinte igualdade envolvendo o determinante de uma matriz 3\times3:
\left|\begin{array}{ccc} 4 & 6 & x \\\\ 5 & 2 & -x \\\\ 7 & 4 & 2x \end{array}\right| = 128.
O que se pede é encontrar o(s) valor(es) de x que satisfazem essa igualdade. Informações relevantes fornecidas:
  • Entradas da matriz: primeira linha (4,6,x), segunda linha (5,2,-x), terceira linha (7,4,2x).
  • O valor do determinante é 128.

Passo 2

Plano de ação (sem resolver ainda): para calcular o determinante de uma matriz 3\times3 usarei a regra de Sarrus, que é um método direto e prático para matrizes 3\times3. Antes de calcular, explico a regra de Sarrus de forma didática.
Regra de Sarrus (breve aula):
  • Para uma matriz
\begin{pmatrix} a & b & c\\\ d & e & f\\\ g & h & i \end{pmatrix},
a regra de Sarrus diz que o determinante é a soma dos produtos das três diagonais que vão da esquerda superior para a direita inferior menos a soma dos produtos das três diagonais que vão da esquerda inferior para a direita superior. Em fórmulas:
\det = (a e i + b f g + c d h) - (g e c + h f a + i d b).
  • Cada produto é obtido multiplicando três entradas da matriz.
  • Essa fórmula é só para matrizes 3\times3; para matrizes maiores usa-se cofatores ou operações elementares.

Passo 3

Aplicando a regra de Sarrus à nossa matriz, identificando
a=4,\quad b=6,\quad c=x,\quad d=5,\quad e=2,\quad f=-x,\quad g=7,\quad h=4,\quad i=2x.
Agora calculo os três produtos da soma “para baixo à direita” (primeiro grupo da regra de Sarrus), cada um mostrado separadamente:
a e i = 4\cdot 2 \cdot 2x,
b f g = 6\cdot(-x)\cdot 7,
c d h = x\cdot 5 \cdot 4.

Passo 4

Calculo numérico desses três produtos e somo-os:
4\cdot 2 \cdot 2x = 16x,
6\cdot(-x)\cdot 7 = -42x,
x\cdot 5 \cdot 4 = 20x.
Somando:
\text{soma\_down} = 16x + (-42x) + 20x = (-6)x = -6x.

Passo 5

Agora calculo os três produtos do grupo “para cima à direita” (segundo grupo da regra de Sarrus):
g e c = 7\cdot 2 \cdot x,
h f a = 4\cdot(-x)\cdot 4,
i d b = 2x\cdot 5 \cdot 6.

Passo 6

Calculo numérico desses produtos e somo-os:
7\cdot 2 \cdot x = 14x,
4\cdot(-x)\cdot 4 = -16x,
2x\cdot 5 \cdot 6 = 60x.
Somando:
\text{soma\_up} = 14x + (-16x) + 60x = 58x.

Passo 7

Pela regra de Sarrus, o determinante é a diferença entre as somas calculadas:
\det = \text{soma\_down} - \text{soma\_up} = -6x - 58x = -64x.
Portanto a expressão do determinante em função de x é
\left|\begin{array}{ccc} 4 & 6 & x \\\\ 5 & 2 & -x \\\\ 7 & 4 & 2x \end{array}\right| = -64x.

Passo 8

Agora imponho a condição dada no enunciado, igualando ao valor 128 e resolvo para x:
-64x = 128.
Dividindo ambos os lados por -64:
x = \dfrac{128}{-64} = -2.

Passo 9

Verificação rápida (checar que não houve erro algébrico): substituindo x=-2 na expressão do determinante -64x,
-64\cdot(-2)=128,
que coincide com o valor dado no enunciado. Logo x=-2 é solução válida.

Resposta

-2

Exercícios relacionados