Considere o sistema linear:
l x1+4 x2=6 2 x1-x2=3 3 x2+x3=5
(a) Resolva-o usando a decomposição LU.
(b) Calcule o determinante de A usando a decomposição.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando decomposição LU! O que isso significa? Basicamente, vamos separar a matriz dos coeficientes do sistema em duas matrizes: uma triangular inferior (L) e uma triangular superior (U). Isso ajuda a resolver o sistema de forma mais fácil. Para isso, precisamos conhecer os conceitos de matrizes triangulares e decomposição LU. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes do sistema. O sistema dado é:
l x1 + 4x2 + 0x3 = 6 2x1 - x2 + 0x3 = 3 0x1 + 3x2 + x3 = 5
Então, a matriz A dos coeficientes é:
A = 1 & 4 & 0 2 & -1 & 0 0 & 3 & 1

Passo 3

Agora, vamos decompor a matriz A em L e U , onde L é uma matriz triangular inferior e U é uma matriz triangular superior. A decomposição LU nos permite escrever:
A = LU
Vamos assumir que L tem 1’s na diagonal principal. Então, podemos escrever:
L = 1 & 0 & 0 l21 & 1 & 0 l31 & l32 & 1 , U = u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33

Passo 4

Vamos encontrar os elementos de U e L comparando A com LU . Multiplicando L e U :
LU = 1 & 0 & 0 l21 & 1 & 0 l31 & l32 & 1 u11 & u12 & u13 0 & u22 & u23 0 & 0 & u33 = u11 & u12 & u13 l21u11 & l21u12 + u22 & l21u13 + u23 l31u11 & l31u12 + l32u22 & l31u13 + l32u23 + u33
Igualando com A :
u11 = 1 u12 = 4 u13 = 0 l21u11 = 2 l21u12 + u22 = -1 l21u13 + u23 = 0 l31u11 = 0 l31u12 + l32u22 = 3 l31u13 + l32u23 + u33 = 1

Passo 5

Resolvendo as equações:
  1. u11 = 1
  2. u12 = 4
  3. u13 = 0
  4. l21 times 1 = 2 l21 = 2
  5. 2 times 4 + u22 = -1 8 + u22 = -1 u22 = -9
  6. 2 times 0 + u23 = 0 u23 = 0
  7. l31 times 1 = 0 l31 = 0
  8. 0 times 4 + l32 times (-9) = 3 -9l32 = 3 l32 = -13
  9. 0 times 0 + (-13) times 0 + u33 = 1 u33 = 1

Passo 6

Agora que temos todos os elementos, podemos montar as matrizes L e U :
L = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 0 & -13 & 1 , U = 1 & 4 & 0 0 & -9 & 0 0 & 0 & 1

Passo 7

Com a decomposição A = LU , vamos resolver o sistema LUx = b . Primeiro, definimos b :
b = 6 3 5
Vamos resolver Ly = b primeiro:
1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 0 & -13 & 1 y1 y2 y3 = 6 3 5
Isso nos dá:
  1. y1 = 6
  2. 2y1 + y2 = 3 2 times 6 + y2 = 3 y2 = 3 - 12 = -9
  3. -13y2 + y3 = 5 -13 times (-9) + y3 = 5 3 + y3 = 5 y3 = 2
Então, y = 6 -9 2

Passo 8

Agora, resolvemos Ux = y :
1 & 4 & 0 0 & -9 & 0 0 & 0 & 1 x1 x2 x3 = 6 -9 2
Isso nos dá:
  1. x1 + 4x2 = 6
  2. -9x2 = -9 x2 = 1
  3. x3 = 2
Substituindo x2 = 1 na primeira equação:
x1 + 4 times 1 = 6 x1 = 6 - 4 = 2

Resposta

As soluções do sistema são:
x1 = 2, x2 = 1, x3 = 2

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