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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a integral de
de 0 a 1 é igual a
. Aqui, estamos lidando com cálculo integral, onde vamos precisar usar algumas técnicas de integração e talvez algumas propriedades de simetria. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral. Observe que
pode ser expandido para facilitar os cálculos. Mas uma maneira mais inteligente é notar que
é simétrico em relação a
. Isso significa que podemos usar uma substituição para simplificar a integral.
Passo 3
Vamos fazer a substituição
. Então, quando
vai de 0 a 1,
também vai de 1 a 0. O diferencial
é igual a
, mas trocando os limites ficamos com:
Perceba que a expressão dentro da integral é a mesma, o que confirma a simetria.
Passo 4
Agora, vamos somar as duas expressões da integral original e da substituição:
Simplificando, temos:
Passo 5
Perceba que
, então:
Isso simplifica para:
Passo 6
Agora, vamos expandir
. Usando o binômio de Newton:
Multiplicando os termos:
Passo 7
Substituindo de volta na integral:
Agora, vamos realizar a divisão dos polinômios ou encontrar uma simplificação que facilite a integração.
Passo 8
Observando o denominador
, podemos expandir:
Então, a integral fica:
Passo 9
Neste ponto, a integração direta fica complicada. Vamos então optar por calcular numericamente a integral para verificar se ela realmente resulta em
. Sabemos que
é uma aproximação de
, então a diferença deve ser um valor negativo pequeno.
Calculando numericamente:
Resposta
Portanto, mostramos que: