Suppose that a differentiable function
satisfies the equation
for all
.
Find all values of the constant
if
.
for all
Find all values of the constant
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma função diferenciável
que satisfaz a equação
para todo
. Além disso,
é dada por
, e precisamos encontrar os valores da constante
que fazem essa equação ser verdadeira. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial e integral, como derivadas e integrais de funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada de
. A função dada é:
Vamos derivar usando a regra da cadeia. Seja
, então
. A derivada de
é:
Calculando
:
Portanto, a derivada fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral
. Substituindo
:
Reconhecemos que
é igual a
, onde
é a função secante hiperbólica. Assim, a integral se torna:
Passo 4
Agora que temos
e a integral, substituímos ambos na equação dada:
Simplificando ambos os lados:
Podemos cancelar
dos dois lados (desde que
):
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar a fração:
Rearranjando a equação:
Fatorando:
Resposta
Os valores da constante
que satisfazem a equação são
e
.