Suppose that a differentiable function f satisfies the equation
f^prime(x)=f(x) integral0^x f(t) d t
for all x.
Find all values of the constant k if f(x)=k(e^x+e^-x)^2.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão pede. Temos uma função diferenciável f que satisfaz a equação f^prime(x) = f(x) integral0^x f(t) , dt para todo x . Além disso, f(x) é dada por k(e^x + e^-x)^2 , e precisamos encontrar os valores da constante k que fazem essa equação ser verdadeira. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial e integral, como derivadas e integrais de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada de f(x) . A função dada é:
f(x) = k(e^x + e^-x)^2
Vamos derivar usando a regra da cadeia. Seja u(x) = e^x + e^-x , então f(x) = ku(x)^2 . A derivada de f(x) é:
f^prime(x) = -2k cdot u^prime(x)u(x)^3
Calculando u^prime(x) :
u^prime(x) = e^x - e^-x
Portanto, a derivada fica:
f^prime(x) = -2k cdot e^x - e^-x(e^x + e^-x)^3

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral integral0^x f(t) , dt . Substituindo f(t) :
integral0^x k(e^t + e^-t)^2 , dt
Reconhecemos que 1(e^t + e^-t)^2 é igual a 14 sech^2(t) , onde sech(t) é a função secante hiperbólica. Assim, a integral se torna:
integral0^x k4 sech^2(t) , dt = k4 [ tanh(t) ]0^x = k4 tanh(x)

Passo 4

Agora que temos f^prime(x) e a integral, substituímos ambos na equação dada:
-2k cdot e^x - e^-x(e^x + e^-x)^3 = k(e^x + e^-x)^2 cdot k4 tanh(x)
Simplificando ambos os lados:
-2k cdot sinh(x)cosh^3(x) = k^24 cdot sinh(x)cosh^3(x)
Podemos cancelar sinh(x)cosh^3(x) dos dois lados (desde que x neq 0 ):
-2k = k^24
Multiplicando ambos os lados por 4 para eliminar a fração:
-8k = k^2
Rearranjando a equação:
k^2 + 8k = 0
Fatorando:
k(k + 8) = 0

Resposta

Os valores da constante k que satisfazem a equação são k = 0 e k = -8 .

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