Considere o sistema linear:
rll 4 x1+2 x2-x3 & = & k^3 3 x1-6 x2+k x3 & = & k^2 2 x1-x2-k x3 & = & k
(i) Use o critério de linhas para verificar para que valores de k o método de Gauss-Jacobi vai gerar uma sequência convergente para a solução do sistema.
(ii) Escolha o menor valor inteiro e positivo para k e faça duas iterações do método de Gauss-Jacobi para o sistema obtido.
(iii) Comente o erro cometido no item (ii).

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear dependente de k e pede:
  1. usar o critério de linhas (norma infty do matriz de iteração) para determinar os k que garantem |B|infty<1 (e portanto convergência do método de Gauss–Jacobi);
  2. escolher o menor inteiro positivo para k e fazer duas iterações do Jacobi;
  3. comentar o erro cometido no item anterior.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma A x=b e isolamos a diagonal para obter a matriz de iteração B=D^-1(L+U). Aqui
A= 4 & 2 & -1 3 & -6 & k 2 & -1 & -k , D=diag(4,-6,-k),
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B=D^-1(L+U) = 0 & -tfrac24 & tfrac14 tfrac3-6 & 0 & tfrack-6 tfrac2-k & tfrac-1-k & 0 = 0 & -tfrac12 & tfrac14 -tfrac12 & 0 & -tfrack6 -tfrac2k & tfrac1k & 0

Passo 3

A norma infty de B é o máximo da soma das magnitudes em cada linha:
s1=tfrac12+tfrac14=0,75, s2=tfrac12+tfrac|k|6, s3=tfrac2|k|+tfrac1|k|=tfrac3|k|
Convergência exige maxs1,s2,s3<1, ou seja
0,75<1(sempre), tfrac12+tfrac|k|6<1;Longrightarrow;|k|<3, tfrac3|k|<1;Longrightarrow;|k|>3

Passo 4

As duas últimas desigualdades só se satisfazem simultaneamente se
|k|<3e|k|>3
o que implica não haver solução em k real. Por sinal, não existe k>0 que satisfaça. Se quisermos o conjunto de k para |B|infty<1, vemos que a única solução é
k< -3

Passo 5

Para o item (ii) escolhemos o menor inteiro positivo,
As fórmulas de iteração de Gauss–Jacobi são, com chute inicial (x^{(0)}=(0,0,0)]:

Passo 6

Com x^(0)=(0,0,0):
x1^(1)=14=0,25, x2^(1)=-16approx -0,1667, x3^(1)=-1
Na segunda iteração:
x1^(2) =1 -2(-0,1667)+(-1)4 =0,33334approx0,0833,
x2^(2) =3(0,25)+(-1)-16 =-1,256approx -0,2083,
x3^(2)=2(0,25)-(-0,1667)-1= -0,3333

Passo 7

O erro do item (ii) foi escolher k=1 em vez de um valor que garanta |B|infty<1. Como 1not< -3, o critério de convergência falha e a sequência iterativa não converge ao verdadeiro x.

Resposta

(i) O critério de linhas dá convergência apenas para
k< -3
(ii) Com k=1 e x^(0)=(0,0,0), obtemos
x^(1)=(0,25,,-0,1667,,-1), x^(2)approx(0,0833,,-0,2083,,-0,3333)
(iii) O erro foi usar k=1, que não satisfaz a condição de convergência do método de Gauss–Jacobi.

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