(i) Use o critério de linhas para verificar para que valores de k o método de Gauss-Jacobi vai gerar uma sequência convergente para a solução do sistema.
(ii) Escolha o menor valor inteiro e positivo para k e faça duas iterações do método de Gauss-Jacobi para o sistema obtido.
(iii) Comente o erro cometido no item (ii).
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear dependente de k e pede:
usar o critério de linhas (norma infty do matriz de iteração) para determinar os k que garantem |B|infty<1 (e portanto convergência do método de Gauss–Jacobi);
escolher o menor inteiro positivo para k e fazer duas iterações do Jacobi;
comentar o erro cometido no item anterior.
Passo 2
Escrevemos o sistema na forma A x=b e isolamos a diagonal para obter a matriz de iteração B=D^-1(L+U). Aqui
As duas últimas desigualdades só se satisfazem simultaneamente se
|k|<3e|k|>3
o que implica não haver solução em k real. Por sinal, não existe k>0 que satisfaça. Se quisermos o conjunto de k para |B|infty<1, vemos que a única solução é
k< -3
Passo 5
Para o item (ii) escolhemos o menor inteiro positivo,
As fórmulas de iteração de Gauss–Jacobi são, com chute inicial (x^{(0)}=(0,0,0)]:
O erro do item (ii) foi escolher k=1 em vez de um valor que garanta |B|infty<1. Como 1not< -3, o critério de convergência falha e a sequência iterativa não converge ao verdadeiro x.
Resposta
(i) O critério de linhas dá convergência apenas para