Justifique: Nenhum dos conjuntos abaixo tem estrutura de um espaço vetorial.
Q2(t)=a0+a1 t+a2 t^2 / ai in Q, forall i=0,1,2, com a adição usual de polinômios e a multiplicação por escalar usual de R para Q2(t).

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
Q2(t)=a0+a1t+a2t^2mid aiinQ,;i=0,1,2,
com a adição usual de polinômios e a multiplicação por escalar vindos de R. Queremos ver se isso satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre o corpo R.

Passo 2

Um dos axiomas essenciais é a fechamento sob multiplicação por escalares: para todo lambdainR e todo p(t)inQ2(t), deve valer lambda,p(t)inQ2(t).

Passo 3

Se p(t)=a0+a1t+a2t^2 com aiinQ e tomamos um escalar lambdainRsetminusQ (por exemplo lambda=raiz2), então
lambda,p(t) =lambda a0 + lambda a1,t + lambda a2,t^2
Como lambda não é racional e ai são racionais, os coeficientes lambda ai não pertencem a Q. Logo lambda,p(t)notinQ2(t).

Passo 4

Isso mostra que não há fechamento sob multiplicação por escalares de R. Sem fechamento, falha um axioma fundamental de espaço vetorial.

Resposta

Nenhum dos conjuntos tem estrutura de espaço vetorial porque não são fechados sob multiplicação por escalares de R; no caso de Q2(t), multiplicar por um escalar irracional leva a coeficientes fora de Q.

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