Justifique: Nenhum dos conjuntos abaixo tem estrutura de um espaço vetorial.
, com a adição usual de polinômios e a multiplicação por escalar usual de
para
.
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
,
com a adição usual de polinômios e a multiplicação por escalar vindos de . Queremos ver se isso satisfaz os axiomas de espaço vetorial sobre o corpo
.
com a adição usual de polinômios e a multiplicação por escalar vindos de
Passo 2
Um dos axiomas essenciais é a fechamento sob multiplicação por escalares: para todo
e todo
, deve valer
.
Passo 3
Se
com
e tomamos um escalar
(por exemplo
), então
Como
não é racional e
são racionais, os coeficientes
não pertencem a
. Logo
.
Passo 4
Isso mostra que não há fechamento sob multiplicação por escalares de
. Sem fechamento, falha um axioma fundamental de espaço vetorial.
Resposta
Nenhum dos conjuntos tem estrutura de espaço vetorial porque não são fechados sob multiplicação por escalares de
; no caso de
, multiplicar por um escalar irracional leva a coeficientes fora de
.