Justifique: Nenhum dos conjuntos abaixo tem estrutura de um espaço vetorial.
. com a multiplicação por escalar usual de
para
e a adição definida por:
, para todas matrizes
e
em
.
Passo 1
O enunciado toma o conjunto
com a multiplicação por escalar usual e define uma nova adição entre
e
por
Para ser espaço vetorial, essa adição precisaria ser associativa (entre outros axiomas). Vamos mostrar que ela falha nesse ponto.]
Passo 2
Seja
,
e
matrizes arbitrárias em
. Primeiro calculemos
de modo que
Por outro lado, primeiro formemos
, isto é
e então
Compare o elemento
de cada soma:
Em geral
, portanto
Passo 3
Como a adição não é associativa, não se forma um grupo abeliano em relação a essa operação, violando um dos axiomas fundamentais de espaço vetorial. Logo a estrutura dada não é espaço vetorial.
Resposta
Não satisfaz a propriedade de associatividade da adição; portanto não é espaço vetorial.