Justifique: Nenhum dos conjuntos abaixo tem estrutura de um espaço vetorial.
M2(R). com a multiplicação por escalar usual de R para M2(R) e a adição definida por: A+B=[lla11 & a12 a21 & a22]2 times 2+[llb11 & b12 b21 & b22]2 times 2=[lla11+b12 & a12+b21 a21+b22 & a22+b11]2 times 2, para todas matrizes A e B em M2(R).

Passo 1

O enunciado toma o conjunto ,M2(R) com a multiplicação por escalar usual e define uma nova adição entre A=(aij) e B=(bij) por
A + B ;=; a11+b12 & a12+b21 [6pt] a21+b22 & a22+b11
Para ser espaço vetorial, essa adição precisaria ser associativa (entre outros axiomas). Vamos mostrar que ela falha nesse ponto.]

Passo 2

Seja A=(aij), B=(bij) e C=(cij) matrizes arbitrárias em M2(R). Primeiro calculemos
D = A + B = a11+b12 & a12+b21 [4pt] a21+b22 & a22+b11 ,
de modo que
(A+B)+C = D+C = (a11+b12) + c12 & (a12+b21) + c21 [4pt] (a21+b22) + c22 & (a22+b11) + c11
Por outro lado, primeiro formemos E = B + C, isto é
E = b11+c12 & b12+c21 [4pt] b21+c22 & b22+c11 ,
e então
A+(B+C) = A+E = a11 + (b12+c21) & a12 + (b21+c22) [4pt] a21 + (b22+c11) & a22 + (b11+c12)
Compare o elemento (1,1) de cada soma:
(A+B)+C:;(1,1)=a11 + b12 + c12, A+(B+C):;(1,1)=a11 + b12 + c21
Em geral c12neq c21, portanto
(A+B)+C ;neq; A+(B+C) ]

Passo 3

Como a adição não é associativa, não se forma um grupo abeliano em relação a essa operação, violando um dos axiomas fundamentais de espaço vetorial. Logo a estrutura dada não é espaço vetorial.

Resposta

Não satisfaz a propriedade de associatividade da adição; portanto não é espaço vetorial.

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