a) Calcule a fatoração LU da matriz de coeficientes acima.
b) Qual o determinante dessa matriz? O que isso significa?
c) Resolva o sistema.
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre o sistema linear dado:
a) Calcular a fatoração LU da matriz de coeficientes.
b) Calcular o determinante dessa matriz e interpretar o resultado.
c) Resolver o sistema.
As informações fornecidas são a matriz de coeficientes A e o vetor do lado direito b:
Nada mais será assumido; a resolução começa a seguir.]
Passo 2
Breve explicação do método que vamos usar (passo-a-passo, sem pular etapas): a fatoração LU consiste em escrever A como A=LU, onde L é triangular inferior com diagonal unitária (uns na diagonal) e U é triangular superior. Uma forma prática de obter L e U é executar eliminação de Gauss sobre A para tornar A triangular superior; os multiplicadores usados para zerar abaixo da diagonal formam as entradas de L. Vou aplicar eliminação por colunas, registrando cada multiplicador explicando o cálculo aritmético, e atualizando também o vetor b (já que queremos resolver o sistema depois).
Passo 3
Eliminação da coluna 1 (usar a_{11}=18 como pivô).
Observação: a segunda coluna nas linhas 2–4 ficou toda zero; isso não impede continuar a eliminação usando a coluna 3 como próximo pivô (vamos anotar os multiplicadores correspondentes e seguir).]
Passo 4
Eliminação usando o elemento da linha 2, coluna 3 como pivô (esse elemento é -2).
Calcule os multiplicadores para zerar as entradas em coluna 3 nas linhas 3 e 4:
\begin{aligned} \ell_{32} &= \frac{(\text{linha 3, col 3})}{(\text{linha 2, col 3})}=\frac{-8}{-2}=4,\\[4pt] \ell_{42} &= \frac{-4}{-2}=2. \end{aligned}
Agora montamos L com os multiplicadores usados nas etapas, lembrando que L tem 1 na diagonal e os multiplicadores \ell_{ij} nas posições inferiores correspondentes:
Multiplicadores da etapa 1 (coluna 1): \ell_{21}=\tfrac{1}{6},\\ \ell_{31}=\tfrac{2}{3},\\ \ell_{41}=\tfrac{1}{3}.
Multiplicadores da etapa 2 (usando a linha 2 como pivô na coluna 3): \ell_{32}=4,\\ \ell_{42}=2.
Pode-se verificar multiplicando LU termo a termo que recuperamos a matriz A original (confirmei os cálculos). Assim obtemos a fatoração A=LU.]
Passo 6
Determinante:
Propriedade importante: para A=LU com L triangular com uns na diagonal, tem-se \det(A)=\det(L)\det(U). Como \det(L)=1 (produto dos elementos da diagonal de L = 1\cdot1\cdot1\cdot1), então
\det(A)=\det(U)=\prod_{i=1}^{4} u_{ii}.
Os elementos diagonais de U são \;u_{11}=18,\\ u_{22}=0,\\ u_{33}=0,\\ u_{44}=3. Portanto
\det(A)=18\cdot 0\cdot 0\cdot 3 = 0.
Interpretação: \det(A)=0 significa que a matriz é singular (não invertível). Para o sistema Ax=b, isso indica que ou não existem soluções ou existem infinitas soluções; precisamos verificar se b está no espaço coluna de A para decidir qual dos dois casos ocorre. Continuamos e resolvemos o sistema para verificar.
Passo 7
Resolver o sistema usando o U e o \tilde b obtidos (já aplicamos a eliminação, então podemos fazer substituição para cima). O sistema triangular U x = \tilde b é: