Analise os sistemas lineares abaixo, com relação ao número de soluções, utilizando o método da eliminação de Gaus para resolver (use três casas decimais):
\left\{\begin{array}{l}1.12 x_{1}+6 x_{2}=1.3 \\\\ 2.24 x_{1}+12 x_{2}=3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que eu analise o número de soluções do sistema e resolva usando o método da eliminação de Gauss, apresentando resultados com três casas decimais. O sistema fornecido é:
\begin{cases} 1{,}12\,x_{1}+6\,x_{2}=1{,}3\\[4pt] 2{,}24\,x_{1}+12\,x_{2}=3 \end{cases}
Informações relevantes dadas:
\text{coeficientes e termos independentes: }1{,}12,\;6,\;1{,}3\\ \text{na primeira equação e }2{,}24,\;12,\;3\\ \text{na segunda}.çã
Também foi pedido para usar três casas decimais nos cálculos apresentados.]

Passo 2

Vou escrever a matriz aumentada do sistema (cada número com três casas decimais):
\left[\begin{array}{cc|c} 1{,}120 & 6{,}000 & 1{,}300\\[4pt] 2{,}240 & 12{,}000 & 3{,}000 \end{array}\right]
Breve explicação sobre isso: a matriz aumentada simplesmente organiza os coeficientes das incógnitas nas colunas e o termo independente na coluna à direita da barra, facilitando a aplicação das operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, adicionar múltiplos de uma linha a outra). O objetivo da eliminação de Gauss é transformar a matriz em uma forma triangular ou em escada para identificar soluções ou inconsistências.]

Passo 3

Escolho como pivô o elemento \,1{,}120\, (primeira linha, primeira coluna). Vou eliminar o coeficiente da segunda linha na primeira coluna usando a operação
\text{L}_2 \leftarrow \text{L}_2 - 2\cdot \text{L}_1,
pois \,2{,}240 = 2\cdot 1{,}120\,. Faço as contas linha a linha, mantendo três casas decimais:
\begin{aligned} \text{novo }a_{21} &= 2{,}240 - 2\cdot 1{,}120 = 2{,}240 - 2{,}240 = 0{,}000,\\[4pt] \text{novo }a_{22} &= 12{,}000 - 2\cdot 6{,}000 = 12{,}000 - 12{,}000 = 0{,}000,\\[4pt] \text{novo }b_{2} &= 3{,}000 - 2\cdot 1{,}300 = 3{,}000 - 2{,}600 = 0{,}400. \end{aligned}
Portanto a matriz aumentada após a operação é
\left[\begin{array}{cc|c} 1{,}120 & 6{,}000 & 1{,}300\\[4pt] 0{,}000 & 0{,}000 & 0{,}400 \end{array}\right].]

Passo 4

Interpreto a segunda linha resultante como uma equação:
0{,}000\cdot x_{1}+0{,}000\cdot x_{2}=0{,}400,
ou seja,
0 = 0{,}400.
Isso é uma contradição impossível — a igualdade não é verdadeira para nenhum x_{1},x_{2}. Quando, ao aplicar eliminação, aparece uma linha com todos os coeficientes nulos e termo independente não nulo, isso indica que o sistema é inconsistente e não tem solução.
Explicação intuitiva: os coeficientes da segunda equação são exatamente o dobro dos coeficientes da primeira ( 2{,}24=2\cdot1{,}12 e 12=2\cdot6), mas o termo independente não é o dobro ( 3\neq 2\cdot1{,}3 porque 3{,}000 \neq 2{,}600). Isso significa que, geometricamente, as duas equações representam retas paralelas distintas no plano — não se interceptam — logo não existe ponto (x_{1},x_{2}) que satisfaça ambas.

Passo 5

Comentário didático rápido sobre variação do resultado: se o segundo termo independente fosse 2{,}600 em vez de 3{,}000, então a segunda equação seria exatamente o dobro da primeira e a segunda linha após eliminação seria [0{,}000\\\ 0{,}000\mid 0{,}000], indicando dependência linear (as duas equações seriam a mesma) e então o sistema teria infinitas soluções (um grau de liberdade). Mas no nosso caso específico a discrepância em 0{,}400 causa inconsistência.

Resposta

O sistema é inconsistente — não há solução.

Exercícios relacionados