Analise os sistemas lineares abaixo, com relação ao número de soluções, utilizando o método da eliminação de Gaus para resolver (use três casas decimais): \left\{\begin{array}{l}1.12 x_{1}+6 x_{2}=1.3 \\\\ 2.24 x_{1}+12 x_{2}=3\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede que eu analise o número de soluções do sistema e resolva usando o método da eliminação de Gauss, apresentando resultados com três casas decimais. O sistema fornecido é:
Breve explicação sobre isso: a matriz aumentada simplesmente organiza os coeficientes das incógnitas nas colunas e o termo independente na coluna à direita da barra, facilitando a aplicação das operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo, adicionar múltiplos de uma linha a outra). O objetivo da eliminação de Gauss é transformar a matriz em uma forma triangular ou em escada para identificar soluções ou inconsistências.]
Passo 3
Escolho como pivô o elemento \,1{,}120\, (primeira linha, primeira coluna). Vou eliminar o coeficiente da segunda linha na primeira coluna usando a operação
Interpreto a segunda linha resultante como uma equação:
0{,}000\cdot x_{1}+0{,}000\cdot x_{2}=0{,}400,
ou seja,
0 = 0{,}400.
Isso é uma contradição impossível — a igualdade não é verdadeira para nenhum x_{1},x_{2}. Quando, ao aplicar eliminação, aparece uma linha com todos os coeficientes nulos e termo independente não nulo, isso indica que o sistema é inconsistente e não tem solução.
Explicação intuitiva: os coeficientes da segunda equação são exatamente o dobro dos coeficientes da primeira (2{,}24=2\cdot1{,}12 e 12=2\cdot6), mas o termo independente não é o dobro (3\neq 2\cdot1{,}3 porque 3{,}000 \neq 2{,}600). Isso significa que, geometricamente, as duas equações representam retas paralelas distintas no plano — não se interceptam — logo não existe ponto (x_{1},x_{2}) que satisfaça ambas.
Passo 5
Comentário didático rápido sobre variação do resultado: se o segundo termo independente fosse 2{,}600 em vez de 3{,}000, então a segunda equação seria exatamente o dobro da primeira e a segunda linha após eliminação seria [0{,}000\\\ 0{,}000\mid 0{,}000], indicando dependência linear (as duas equações seriam a mesma) e então o sistema teria infinitas soluções (um grau de liberdade). Mas no nosso caso específico a discrepância em 0{,}400 causa inconsistência.