Considere o sistema linear de três equações nas variáveis e z.
Neste caso, determine os escalares m e n para que o sistema não admita solução em R.
Passo 1
O enunciado dá o sistema
x+y+z=1, 2x+m,y+2z=2, 4x+n,y+(m+2)z=3,
e pede os valores de m e n para que não haja solução real. Isso ocorre exatamente quando a matriz de coeficientes tem posto menor que 3 (ou seja, determinante zero) e a matriz ampliada tem posto 3 (condição de sistema incompatível).
Para o sistema não ter solução única precisamos de det(A)=0, ou seja
(m-2)^2=0Longrightarrow m=2
Passo 4
Substituindo m=2, as duas primeiras equações ficam
x+y+z=1, 2x+2y+2z=2,
mas a segunda é simplesmente 2,(x+y+z)=2, repetindo a primeira. Resta a terceira
4x + n,y + (2+2),z = 3,
isto é
4x + n,y +4z = 3
Para que não haja nenhuma solução, as planas ;x+y+z=1; e ;4x+n y+4z=3; devem ser paralelas e não coincidentes. Seus vetores normais são (1,1,1) e (4,n,4), que só são proporcionais se
(4,n,4)=4,(1,1,1)Longrightarrow n=4
Além disso, o termo constante da segunda plana seria 4cdot1=4, diferente de 3, garantindo incompatibilidade.