Considere o sistema linear de três equações nas variáveis x, y e z.
lx+y+z=1 2 x+m y+2 z=2 4 x+n y+(m+2) z=3
Neste caso, determine os escalares m e n para que o sistema não admita solução em R.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
x+y+z=1, 2x+m,y+2z=2, 4x+n,y+(m+2)z=3,
e pede os valores de m e n para que não haja solução real. Isso ocorre exatamente quando a matriz de coeficientes tem posto menor que 3 (ou seja, determinante zero) e a matriz ampliada tem posto 3 (condição de sistema incompatível).

Passo 2

Calcule o determinante da matriz de coeficientes
A = 1 & 1 & 1 2 & m & 2 4 & n & m+2
Usando a regra de Sarrus ou cofactores, obtemos
det(A) =1cdotl(m(m+2)-2nr) -1cdotl(2(m+2)-2cdot4r) +1cdotl(2n-4mr)
Desenvolvendo, dá
det(A)=m^2+2m-2n -l(2m-4r)+(2n-4m) = m^2 -4m +4 = (m-2)^2

Passo 3

Para o sistema não ter solução única precisamos de det(A)=0, ou seja
(m-2)^2=0Longrightarrow m=2

Passo 4

Substituindo m=2, as duas primeiras equações ficam
x+y+z=1, 2x+2y+2z=2,
mas a segunda é simplesmente 2,(x+y+z)=2, repetindo a primeira. Resta a terceira
4x + n,y + (2+2),z = 3,
isto é
4x + n,y +4z = 3
Para que não haja nenhuma solução, as planas
;x+y+z=1; e ;4x+n y+4z=3; devem ser paralelas e não coincidentes. Seus vetores normais são (1,1,1) e (4,n,4), que só são proporcionais se
(4,n,4)=4,(1,1,1)Longrightarrow n=4
Além disso, o termo constante da segunda plana seria 4cdot1=4, diferente de 3, garantindo incompatibilidade.

Resposta

m=2,;n=4.

Exercícios relacionados