O gráfico da função polinomial g(x)=a x^3+b x^2+c x+d passa pelos pontos (1,-8),(-1,-2),(2,22) e (-3,-28). Nesse caso, qual é o valor de 14 g(3) ?

Passo 1

O enunciado diz que
g(x)=a x^3+b x^2+c x+d
passa pelos pontos (1,-8), (-1,-2), (2,22) e (-3,-28). Queremos calcular tfrac14,g(3). Para isso, vamos montar e resolver o sistema linear que determina a,b,c,d.

Passo 2

Escrevendo as quatro condições g(xi)=yi temos o sistema
a+b+c+d = -8, -,a+b-,c+d = -2, 8a+4b+2c+d = 22, -27a+9b-3c+d = -28

Passo 3

Subtraindo a segunda equação da primeira eliminamos b e d:
(a+b+c+d);-;(-a+b-c+d) = -8 -(-2) ;Longrightarrow;2a+2c=-6 ;Longrightarrow;a+c=-3

Passo 4

Subtraindo a primeira equação da terceira temos
(8a+4b+2c+d);-;(a+b+c+d) = 22 -(-8) ;Longrightarrow;7a+3b+c=30

Passo 5

Subtraindo a terceira equação da quarta e dividindo por 5
(-27a+9b-3c+d);-;(8a+4b+2c+d) = -28-22 ;Longrightarrow;-35a+5b-5c=-50 ;Longrightarrow;-7a+b-c=-10 ;Longrightarrow;b=7a+c-10

Passo 6

Agora, na equação
Juntando com temos o sistema
cuja solução é .

Passo 7

Com a=3 e c=-6 achamos
b=7a+c-10=7cdot3-6-10=5 e d de a+b+c+d=-8;Longrightarrow;3+5-6+d=-8;Longrightarrow;d=-10
Logo
g(x)=3x^3+5x^2-6x-10

Passo 8

Calculamos
g(3)=3cdot27+5cdot9-6cdot3-10=81+45-18-10=98,
portanto
tfrac14,g(3)=984=492

Resposta

492

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