Escalonar e resolver os sistemas de equações propostos. Em seguida, classifique-os quanto ao número de soluções.
i)
iv) c2 x+y=2 z-2 y+z=2 3 x-2 z=-1
vii)
l -x+4 y=5 3 x-12 y=1
ii) cy+x+2 z=0 3 x+3 z=9-4 y 3 z+2 y=x-1
v) c x+2 y=3-3 z 2 x+3 y+8 z=4
viii)
lx+3 y=-9 13 x+y=-3
(iv) lx+2 y=3+z
v) l2 x+3 y+8 z 3 x+17 z
ix)
cx+4 y=2+z 4 x+6 z=31+y 3 x+y=3 z-5
iii) cx+2 y+z=0 x+2 y=4+z
vi) cx+2 y-3 z=6 2 x+4 z=2+y 4 x+3 y=14+2 z
x)
c x+y+z=4 2 x+5 y-2 z=3
Passo 1
O enunciado pede para escalonar (usar eliminação de Gauss) e resolver dez sistemas lineares, e depois dizer se cada um tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução. Vamos usar operações elementares sobre linhas, identificar o posto da matriz ampliada versus o posto da matriz dos coeficientes e, assim, obter a solução ou determinar existência de parâmetros livres ou inconsistências.
Passo 2
Primeiro tratamos os sistemas de [2\times2) incógnitas (i, vii e viii). Para cada um deles montamos a matriz aumentada, eliminamos um coeficiente, encontramos a solução ou vemos inconsistência ou dependência:
– Sistema i)
Eliminando e, em seguida, .
– Sistema vii)
A segunda equação é , enquanto a primeira dá . Como , há contradição: sem solução.
– Sistema viii)
Multiplicando a segunda por 3 volta-se à primeira. Logo há apenas uma equação em duas incógnitas, com infinitas soluções.
Passo 3
Agora escalonamos os sistemas de [3\times3) incógnitas que se mostram compatíveis e independentes (ii, iv, vi e ix):
– Sistema ii)
Eliminação leva a e .
– Sistema iv)
Após eliminação surge e .
– Sistema vi)
Duas linhas tornam-se iguais, indicando um grau de liberdade. Com (z=t], obtemos
infinitas soluções.
– Sistema ix)
Eliminação leva a , , , solução única.
Passo 4
Por fim, escalonamos os três sistemas que têm 2 equações e 3 incógnitas (iii, v e x), sempre gerando um parâmetro livre: