Escalonar e resolver os sistemas de equações propostos. Em seguida, classifique-os quanto ao número de soluções.
i) l2 x+3 y=18 3 x+4 y=25 iv) c2 x+y=2 z-2 y+z=2 3 x-2 z=-1 vii) l -x+4 y=5 3 x-12 y=1
ii) cy+x+2 z=0 3 x+3 z=9-4 y 3 z+2 y=x-1 v) c x+2 y=3-3 z 2 x+3 y+8 z=4 viii) lx+3 y=-9 13 x+y=-3
(iv) lx+2 y=3+z v) l2 x+3 y+8 z 3 x+17 z ix) cx+4 y=2+z 4 x+6 z=31+y 3 x+y=3 z-5
iii) cx+2 y+z=0 x+2 y=4+z vi) cx+2 y-3 z=6 2 x+4 z=2+y 4 x+3 y=14+2 z x) c x+y+z=4 2 x+5 y-2 z=3

Passo 1

O enunciado pede para escalonar (usar eliminação de Gauss) e resolver dez sistemas lineares, e depois dizer se cada um tem solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução. Vamos usar operações elementares sobre linhas, identificar o posto da matriz ampliada versus o posto da matriz dos coeficientes e, assim, obter a solução ou determinar existência de parâmetros livres ou inconsistências.

Passo 2

Primeiro tratamos os sistemas de [2\times2) incógnitas (i, vii e viii). Para cada um deles montamos a matriz aumentada, eliminamos um coeficiente, encontramos a solução ou vemos inconsistência ou dependência:
– Sistema i)
Eliminando e, em seguida, .
– Sistema vii)
A segunda equação é , enquanto a primeira dá . Como , há contradição: sem solução.
– Sistema viii)
Multiplicando a segunda por 3 volta-se à primeira. Logo há apenas uma equação em duas incógnitas, com infinitas soluções.

Passo 3

Agora escalonamos os sistemas de [3\times3) incógnitas que se mostram compatíveis e independentes (ii, iv, vi e ix):
– Sistema ii)
Eliminação leva a e .
– Sistema iv)
Após eliminação surge e .
– Sistema vi)
Duas linhas tornam-se iguais, indicando um grau de liberdade. Com (z=t], obtemos

infinitas soluções.
– Sistema ix)
Eliminação leva a , , , solução única.

Passo 4

Por fim, escalonamos os três sistemas que têm 2 equações e 3 incógnitas (iii, v e x), sempre gerando um parâmetro livre:
– Sistema iii)
Subtraindo, vem
– Sistema v)
Eliminação dá , e da primeira com .
– Sistema x)
Eliminação produz , e da primeira com .

Resposta

i) (x,y)=(3,4), solução única.
ii) (x,y,z)=(1,3,-2), solução única.
iii) x=2-2t,;y=t,;z=-2, infinitas soluções.
iv) (x,y,z)=(1,0,2), solução única.
v) x=-1-7t,;y=2+2t,;z=t, infinitas soluções.
vi) x=2-t,;y=2+2t,;z=t, infinitas soluções.
vii) sem solução.
viii) x=-9-3t,;y=t, infinitas soluções.
ix) (x,y,z)=(2,1,4), solução única.
x) x=tfrac17-7t3,;y=tfrac4t-53,;z=t, infinitas soluções.

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