Determine se os seguintes itens são verdadeiro ou falso. No caso de ser verdadeiro provar a afirmativa e no caso de ser falso exibir um contra-exemplo.
(b)
;
(b)
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a igualdade
é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolve a definição de transposta de matriz e a propriedade de linearidade dessa operação.
Passo 2
Definição: dada uma matriz
de ordem
, sua transposta
é a matriz de ordem
cujo elemento na linha
e coluna
é
Passo 3
Considere a matriz
. Para cada par de índices
vale
pois a soma de matrizes é feita elemento a elemento.
Passo 4
Ainda para cada
temos
Portanto
Passo 5
Como a soma de matrizes é comutativa, conclui-se que
Logo a igualdade
é verdadeira.
Resposta
A afirmativa é verdadeira.