Determine se os seguintes itens são verdadeiro ou falso. No caso de ser verdadeiro provar a afirmativa e no caso de ser falso exibir um contra-exemplo.
(b) (A+B)^t=B^t+A^t;

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a igualdade (A+B)^t = B^t + A^t é verdadeira ou falsa. O conteúdo envolve a definição de transposta de matriz e a propriedade de linearidade dessa operação.

Passo 2

Definição: dada uma matriz M de ordem mtimes n, sua transposta M^t é a matriz de ordem ntimes m cujo elemento na linha i e coluna j é
(M^t)ij = Mji

Passo 3

Considere a matriz A+B. Para cada par de índices i,j vale
(A+B)^tij = (A+B)ji = Aji + Bji,
pois a soma de matrizes é feita elemento a elemento.

Passo 4

Ainda para cada i,j temos
Aji + Bji = A^tij + B^tij = (A^t + B^t)ij
Portanto
(A+B)^t = A^t + B^t

Passo 5

Como a soma de matrizes é comutativa, conclui-se que
A^t + B^t = B^t + A^t
Logo a igualdade (A+B)^t = B^t + A^t é verdadeira.

Resposta

A afirmativa é verdadeira.

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